10. Teorema de Fourier

Objetivo

El propósito de esta práctica es entender y aprender como mediante la superposición de ondas elementales armónicas de diferentes frecuencias y pesos es posible construir una onda periódica de cualquier perfil.

Recursos

  1. Computador o tablet con acceso a la Internet

  2. Simulación disponible en https://kforinas.pages.iu.edu/WJS/SuperpositionJS.html.

Resumen teórico Teorema de Fourier: toda función periódica (espacial o temporal) de período \(\lambda\) puede escribirse como la suma de funciones seno y coseno, de amplitudes y fases adecuadas. Así, para la función \(f(x)\) mostrada en la Figura 10.6, de periodo \(\lambda\), de acuerdo al teorema de Fourier:

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Figura 10.6 Función periódica

(10.1)\[\begin{equation}\label{Ec:fourier_01} f(x)=a_0+\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\cos\frac{2\pi n}{\lambda}x+b_n\sin\frac{2\pi n}{\lambda}x) \end{equation}\]

donde

(10.2)\[\begin{equation} a_0 = \frac{1}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}f(x)dx \end{equation}\]
(10.3)\[\begin{equation} a_n = \frac{2}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}f(x)\cos(\frac{2\pi nx}{\lambda})dx \end{equation}\]
(10.4)\[\begin{equation} b_n = \frac{2}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}f(x)\sin(\frac{2\pi nx}{\lambda})dx \end{equation}\]

Obsérvese que los periodos de las funciones \(\cos(\frac{2\pi nx}{\lambda})\) y \(\sin(\frac{2\pi nx}{\lambda})\) son iguales y sus valores son \(\frac{2\pi}{\frac{2\pi n}{\lambda}}=\frac{\lambda}{n}\). Así, la función \(f(x)\) es la suma de funciones seno y coseno de periodos \(\lambda, \frac{\lambda}{2},\frac{\lambda}{3}...\) y los pesos o contribuciones de estas funciones son determinados por los coeficientes \(a_n\) y \(b_n\). A modo de ejemplo, la función periódica de la Figura 10.7 tiene periodo \(\lambda=4.0\,\text{cm}\) y altura \(k\). De las ecuaciones (10.2), (10.3) y (10.4) resulta:

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Figura 10.7 Función periódica

(10.5)\[\begin{equation} a_0 =\frac{k}{2} \end{equation}\]
(10.6)\[\begin{equation} a_n =\frac{2k}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2} \end{equation}\]
(10.7)\[\begin{equation} b_n =0 \end{equation}\]

De donde \(a_n=0\) cuando \(n\) es par, \(a_n=\frac{2k}{n\pi}\) cuando \(n=1,5,9,...\) y \(a_n=-\frac{2k}{n\pi}\) cuando \(n=3,7,11,...\). De aquí que el resultado final es:

(10.8)\[\begin{equation} f(x)=\frac{k}{2}+\frac{2k}{\pi}\left(\cos\frac{\pi}{2}x-\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{2}x+\frac{1}{5}\cos\frac{5\pi}{2}x-\frac{1}{7}\cos\frac{7\pi}{2}x+\ldots\right) \end{equation}\]

Nótese que la función \(f(x)\) queda escrita solamente en términos de funciones coseno, no hay términos tipo seno. Nota: \(\cos\frac{\pi}{2}x\) significa \(\cos(\frac{\pi}{2}x)\) e igual para el resto de términos.

Construcción de una onda

La función periódica descrita por la ecuación (10.8) es una función de la variable \(x\) y tiene perfil igual al mostrado en la Figura 10.7. Construyamos ahora una onda viajera que tenga este mismo perfil. Para ello, hacemos el cambio de variable \(x\rightarrow x-vt\) en la ecuación (10.8) y voila! tenemos una onda propagándose a lo largo del eje \(x\) con velocidad \(v\). La onda resultante es representada por la ecuación:

(10.9)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{aligned} F(x,t) = \frac{k}{2}+\frac{2k}{\pi}\left(\cos\frac{\pi}{2}(x-vt) \\ -\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{2}(x-vt)+\frac{1}{5}\cos\frac{5\pi}{2}(x-vt)\\ -\frac{1}{7}\cos\frac{7\pi}{2}(x-vt)+\ldots\right) \end{aligned} \end{equation}\end{split}\]

Descripción de interfaz de la aplicación

La Figura 10.8 muestra la interfaz gráfica del usuario, que permite ver la propagación de las ondas cuyas ecuaciones escribamos en los campos ubicados en la parte superior de la interfaz y que dicen \(f(x,t)\) y \(g(x,t)\). A modo de ejemplo, hemos escrito \(f(x,t)=2.0\sin(x-t)\) y \(g(x,t)=2.0\sin(x+t)\) que corresponden a dos ondas armónicas viajeras que se mueven a lo largo del eje \(x\) en direcciones contrarias (signo \(-\) hacia la derecha y \(+\) hacia la izquierda) con igual velocidad (\(v=1\,\text{cm/s}\)), número de onda \(k=1\,\text{rad/cm}\), frecuencia angular \(\omega=1\,\text{rad/s}\), longitud de onda \(\lambda=\frac{2\pi}{k}=2\pi\,\text{cm}\), frecuencia \(f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\,\text{Hz}\) y periodo \(T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\,\text{s}\). Los tres botones ubicados en la parte inferior de la interfaz permiten ocultar o mostrar las ondas al igual que la resultante (suma) de las ondas \(f(x,t)\) y \(g(x,t)\). Los botones textbf{play/pause} permiten correr y detener la aplicación.

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Figura 10.8 Interfaz gráfica del usuario

Mediciones y procedimientos

  1. Cosidere los tres primeros términos de la expresión (10.9) con \(k=4\) y \(v=1\,\text{cm/s}\), es decir,

    (10.10)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} F(x,t)=\frac{4}{2}+\frac{2\times4}{\pi}\left(\cos\frac{\pi}{2}(x-t)-\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{2}(x-t)\right)\\ =2+\frac{8}{\pi}\cos\frac{\pi}{2}(x-t)-\frac{8}{3\pi}\cos\frac{3\pi}{2}(x-t) \end{split} \end{equation}\end{split}\]

    Introduzca estos términos en el simulador. La pregunta es, ¿qué términos escribimos en la casilla \(f(x,t)\)? y ¿qué términos escribimos en \(g(x,t)\)? La respuesta es: no importa, pues finalmente lo que estamos calculando es la suma \(u(x,t)=f(x,t)+g(x,t)\). Así, a modo de ejemplo podemos hacer \(f(x,t)=2+\frac{8}{\pi}\cos\frac{\pi}{2}(x-t)\) y \(g(x,t)=-\frac{8}{3\pi}\cos\frac{3\pi}{2}(x-t)\). La onda generada resultante (suma) se visualiza en la Figura 10.9. ¿La forma de la gráfica mostrada en la Figura 10.9 se parece a la mostrada en la Figura 10.7 ?

    ../_images/Fourier_02.png

    Figura 10.9 Perfil de la onda viajera cuando se consideran solamente los 3 primeros términos en la expresión (10.9)

  2. Repita el paso anterior pero esta vez considere los 10 primeros términos de la expresión (10.9). Responda la misma pregunta del inciso anterior.

  3. Basado en los resultados anteriores ¿qué puede predecir acerca de la forma de la onda cuando se consideran más y más términos de la expresión (10.9) ?

  4. ¿Qué sucede si en la expresión (10.9) reemplazamos en cada uno de los términos \(x-vt\) por \(x+2t\) ? ¡Verifique su respuesta con el simulador!

  5. ¿Qué sucede si la velocidad de propagación dada por el quinto término en la expresión (10.9): \(-\frac{8}{3\pi}\cos\frac{3\pi}{2}(x-t)\) se reemplaza por \(v=1.5\,\text{cm/s}\), es decir, \(-\frac{8}{3\pi}\cos\frac{3\pi}{2}(x-1.5t)\)? Analice su efecto en el simulador. Escriba sus conclusiones.

  6. Demuestre en detalle los pasos que conducen a la expresión (10.8).

  7. Suponga ahora que se tienen las siguientes ondas

  8. (10.11)\[\begin{equation} H(x,t)=\frac{4}{\pi}\sin(x-t)+\frac{4}{3\pi}\sin(3(x-t))+\frac{4}{5\pi}\sin(5(x-t))+ \frac{4}{7\pi}\sin(7(x-t))+\ldots \end{equation}\]

    ¿Qué forma tiene esta onda?, ¿cuál es su dirección y velocidad de propagación?

  9. (10.12)\[\begin{equation} U(x,t)=\frac{2}{\pi}\sin(x-t)-\frac{2}{2\pi}\sin(2(x-t))+\frac{2}{3\pi}\sin(3(x-t))-\frac{2}{4\pi}\sin(4(x-t))+\ldots \end{equation}\]

    ¿Qué forma tiene esta onda?, ¿cuál es su dirección y velocidad de propagación?

  10. Una onda de radio AM (amplitud modulada) tiene la forma

    (10.13)\[\begin{equation}\label{Ec:fourier_09} K(x,t)=[A+B\sin(2\pi ft)]\times \sin[2\pi f_c(t-\frac{x}{v})] \end{equation}\]

    el factor \(\sin[2\pi f_c(t-\frac{x}{v})]\) se llama la onda transportadora, la cual tiene una frecuencia muy alta \(f_c\), llamada la frecuencia de radio y es del orden de 1 MHz. La amplitud de la onda transportadora es \([A+B\sin(2\pi ft)]\), la cual varía con el tiempo de manera armónica (de ahí que se llame amplitud modulada), \(f\) es del orden de 100 Hz y se llama la frecuencia de audio. Para poder visualizar esta onda en el simulador use los siguientes datos ficticios \(A=2\), \(B=0.5\), \(f=0.1\), \(f_c=1.0\) y \(1.0\). Describa el comportamiento de esta onda de radio a medida que se propaga. Use relaciones trigonométricas para demostrar que \(K(x,t)\) se puede escribir como la suma de tres ondas de frecuencias \(f_c\), \(f_c+f\) y \(f_c-f\), la primera es la onda transportadora y las otras dos son llamadas ondas de banda laterales.