17. +Permeabilidad magnética del aire

Objetivo

El propósito de esta práctica es determinar el valor de la permeabilidad magnética \(\mu_a\) del aire. Para ello, se usan dos bobinas; la bobina \(1\) (inductora) de radio \(R\), se conecta un variac el cual suministra una señal alterna de la forma \(V=V_0\sin2\pi f\), siendo \(V_0\) la amplitud, y \(f=60\) Hz. La bobina \(2\) de radio \(r\) (\(r<R\)) se dispone concéntricamente con la bobina \(1\), y se mide el voltaje \(V_{ef}\) eficaz inducido generado por la corriente eficaz \(I_{ef}\) que circula por la bobina inductora. A partir de la mediciones de \(V_{ef}\) e \(I_{ef}\) se determina el valor de \(\mu_a\).

Recursos

1. Una bobina (inductora) con radio \(R\approx 10.5\,\text{cm}\) y 200 vueltas ó \(R\approx 6.5\,\text{cm}\) y 320 vueltas.

2. Una bobina con radio \(r\approx 13\,\text{mm}\) y \(2000\) vueltas

3. Dos multímetros.

4. Cables de conexión.

5. Una regla graduada.

Resumen teórico

Las corrientes eléctricas son las fuentes de campo magnético. El campo magnético creado por una distribución de corriente se calcula a partir de la ley de Biot-Savart 3, 4 . Para el caso de una espira circular de radio \(R\) y con corriente \(i\), el valor del campo magnético en un punto \(P\) a una distancia \(x\) de su centro y a lo largo de un eje que pasa perpendicularmente al plano que contiene la bobina es dado por

\[\begin{equation} \overrightarrow{B}=\frac{\mu_aiR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\widehat{u} \end{equation}\]

donde \(\widehat{u}\) es una vector unitario en la dirección del eje. Si el valor de la corriente es \(i=I_0\sin(\omega t)\) y si en lugar de una sola espira se tienen \(N\), el valor de campo magnético en el punto \(x\) es

\[\begin{equation} \overrightarrow{B}=\frac{\mu_aI_0NR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\sin(\omega t)\widehat{u} \end{equation}\]

Ahora, si en el punto \(P\) se coloca una bobina de radio \(r\) y \(n\) espiras con \(R>r\) concéntrica con la primera, el flujo magnético a través de ésta es aproximadamente dado por

\[\begin{equation} {\Phi}= \frac{\mu_aI_0N\pi nr^2R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\sin(\omega t) \end{equation}\]

Como el flujo cambia con el tiempo, entonces la fuerza electromotriz inducida de acuerdo a la ley de Faraday es

\[\begin{equation} \varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{\mu_aI_0N\pi nr^2R^2\omega}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\cos(\omega t) \end{equation}\]

Haciendo uso de los valores eficaces 1, que es lo que miden los multímetros, entonces el valor eficaz del voltaje inducido es

(17.14)\[\begin{equation} \varepsilon_{ef}=\frac{\mu_aI_{ef}N\pi nr^2R^2\omega}{2(R^2+x^2)^{3/2}}=B_{ef}r^2n\omega\pi \end{equation}\]

donde hemos defindo

(17.15)\[\begin{equation} B_{ef}=\frac{\mu_aI_{ef}NR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}} \end{equation}\]

La ecuación (17.14) se puede reescribir como

(17.16)\[\begin{equation} \varepsilon_{ef}=KI_{ef} \end{equation}\]

donde

(17.17)\[\begin{equation} K= \frac{\mu_aNn\pi r^2R^2\omega}{2(R^2+x^2)^{3/2}} \end{equation}\]

Métodos para medir \(\mu_a\)

1. De la ecuación (17.16) se sigue que para una distancia \(x\) fija entre la bobinas, la relación entre el voltaje inducido \(\varepsilon_{ef}\) en la bobina \(2\) y la corriente \(I_{ef}\) en la bobina \(1\) es lineal, y por tanto el valor de la pendiente \(m\) de la línea recta es \(K\) (ver Figura 17.4). Determinado el valor de la pendiente \(m\), el valor de la permeabilidad magnética del aire de la ecuación (17.17), (con \(\omega =2\pi f\), siendo \(f=60\) Hz) es dado por

   (17.18)\[\begin{equation} \mu_a=\frac{m(R^2+x^2)^{3/2}}{nN\pi^2r^2R^2f} \end{equation}\]
   

   Figura 17.4 Relación entre \(\varepsilon_{ef}\) y \(I_{ef}\) para una distancia fija \(x\) entre las dos bobinas.

2. De las ecuaciones (17.14) y (17.15) se sigue que

   (17.19)\[\begin{equation} B_{ef}=\frac{\varepsilon_{ef}}{nr^22\pi^2f}=\mu_aX \end{equation}\]

   donde

   (17.20)\[\begin{equation} X=\frac{I_{ef}NR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}} \end{equation}\]

   Así, si la corriente en la bobina \(1\) se mantiene constante entonces la relación entre \(B_{ef}\) y \(X\) es lineal y la pendiente de ésta línea recta es \(\mu_a\) (ver Figura 17.5). Note que \(X\) es una función de la coordenada \(x\) del punto \(P\), que es el lugar donde se encuentra la bobina \(2\).

   

   Figura 17.5 Relación entre el campo magnético efectivo \(B_{ef}\) a lo largo del eje \(x\) para una corriente \(I_{ef}\) fija en la bobina \(1\).

Montaje experimental

El arreglo experimental para determinar la permeabilidad magnética del aire (ver Figura 17.6) consiste esencialmente de dos bobinas ubicadas de modo que los planos que las contienen son paralelos y sus centros están a lo largo del eje \(x\). La bobina \(1\) ó bobina inductora tiene radio \(R\approx 10.5 \text{cm}\) y \(200\) vueltas ó \(R\approx 6.5\,\text{cm}\) y \(320\) vueltas, y la bobina \(2\) tiene radio \(r\approx 13\, \text{mm}\) y \(2000\) vueltas. La bobina \(1\) se conecta al variac 2 cuya tensión o voltaje de salida se puede variar. La corriente a través de la bobina inductora depende de la tensión del variac y se mide con un multímetro conectado en serie. En la bobina \(2\) se mide el voltaje inducido eficaz mediante el voltímetro en el rango AC.

Figura 17.6 Arreglo experimental para determinar \(\mu_a\).

Mediciones

1. Arme el montaje experimental de la Figura 17.6 y fije la distancia entre las bobinas en cero, es decir \(x=0\). Se sugiere que construya la Tabla 17.3. Grafique \(\varepsilon _{ef}\) en función de \(I_{ef}\) y utilice la ecuación (17.16) para determinar \(\mu_a\).

   Tabla 17.3 Datos para determinar \(\mu_a\)

   Corriente \(I_{ef}\) (A)	Voltaje \(\varepsilon _{ef}\) (V)
   0.0
   0.1
   0.2
   0.3
   0.4
   0.5
   0.6
   0.7
   0.8
   0.9
   1.0
   1.1
   1.2
   1.3
   1.4
   1.5
   1.6
   1.7

2. Determine el valor efectivo del campo magnético de la bobina \(1\) como función de \(x\). Para ello, se sugiere que complete la Tabla 17.4 manteniendo la corriente constante en la bobina \(1\) igual a 1.7 A. Grafique \(B_{ef}\) en función de \(x\) y compare sus resultados con los predichos por la ecuación (17.15).

   Tabla 17.4 Datos para determinar la dependencia del campo magnético efectivo \(B_{ef}\) de la posición \(x\), medida a lo largo del eje de la bobina \(1\). La corriente \(I_{ef}\) en la bobina 1 se mantiene fija e igual a 1.7 A.

   Distancia \(x\) (cm)	Voltaje \(\varepsilon _{ef}\) (V)	\(B_{ef}=\frac{\varepsilon _{ef}}{2n\pi^{2}f}(\mu T)\)
   0.0
   0.5
   1.0
   1.5
   2.0
   2.5
   3.0
   3.5
   4.0
   4.5
   5.0
   5.5
   6.0
   6.5
   7.0
   7.5
   8.0
   8.5
   9.0
   9.5
   10.0
   10.5
   11.0
   11.5
   \(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
   25.0

3. Con los datos obtenidos en la Tabla 17.4 grafique \(B_{ef}\) como función de \(X\), donde \(X\) es dado por la ecuación (17.20). De la gráfica obtenga de nuevo \(\mu_a\). Compare los resultados obtenidos para \(\mu_a\) y compárelos con el valor teórico \(\mu_a=1.25663753\times10^{-6}\,\text{N/A}^2\). Discuta sus resultados.

1

Recuerde que si una señal de corriente o voltaje depende del tiempo según las leyes \(i=I_0\sin(\omega t)\), \(v=V_0\sin(\omega t)\), el valor que mediría un amperímetro o voltímetro sería su valor eficaz dado por \(i_{ef}=\frac{I_0}{\sqrt{2}}\) ó \(V_{ef}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}\), las cuales con cantidades constantes.

2

El Variac es un transformador con varios devanados reductores conectados a un interruptor rotativo, con el fin de reducir el voltaje AC desde el devanado primario.

3

Yuste.M, Revista Española de Física, Volumen 10, Numero 1, 1996.

4

Serway, R., FISICA para ciencias e ingeniería, McGraw-Hill, Tomo 2, México, 2000.