7. Versión moderna del teorema V de Galileo

Objetivo

El objetivo de esta actividad es estudiar una versión moderna del teorema V de Galileo sobre el movimiento uniformemente acelerado, tal como se encuentra en el tercer día de la obra " Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences " de Galileo 1

Recursos

1. Computador o tablet con acceso a la internet.

2. Simulación disponible en https://www.geogebra.org/m/kqRFm4vW.

Situación

La Figura 7.1 muestra dos planos inclinados de longitudes \(L_1\), \(L_2\) y alturas \(h_1\), \(h_2\) respectivamente. Cuerpos idénticos se sueltan del reposo desde la parte superior de cada plano, los tiempos \(\Delta t_1\) que gastan los cuerpos en llegar a la base del plano dependerán la longitud del plano y la altura del mismo. La finalidad es encontrar la relación matemática entre \(\Delta t\), \(h\) y \(L\).

Figura 7.1 Montaje experimental usado por Galileo (Teorema V).

Mediciones y procedimientos

Las mediciones de tiempo tienen una incertidumbre de 0.1 s por defecto.

Dependencia de \(\Delta t\) con \(L\), \(h=\text{constante}\)

1. Selecione la opción TEOREMA V

2. Selecione la opción Point particle y Point particle appearance \(\rightarrow\) ball.

3. Fije la altura del plano inclinado en \(h=1\,\text{m}\) y varíe la longitud del plano el rango \(1<h=<8\,\text{m}\). Para cada longitud mida el tiempo \(\Delta t\) que gasta el cuerpo en llegar a la base del plano. Registre sus mediciones en la Tabla 7.1.

   Tabla 7.1 Relación entre \(\Delta t\) y \(L\)

   \(L\)	\(\Delta t\) (s)
   1.5
   2.5
   3.5
   4.5
   5.5
   6.5
   7.5
   8.0

4. Realice una gráfica de \(\Delta t\) en función de la altura \(L\).

5. Proponga un modelo para la dependencia de \(\Delta t\) con la altura \(L\), basado en el tipo de gráfica obtenido en el inciso anterior.

6. Haga uso de sus conocimientos de linealización de una función para encontrar una ecuación matemática que relacione las variables \(\Delta t\) y \(L\). Asuma una relación de la forma \(\Delta t=aL^{m}\), donde \(a\) y \(m\) son constantes que debe encontrar.

7. Verifique que la ecuación encontrada en el inciso anterior predice el tiempo de descenso de la partícula a lo largo del plano inclinado para diferentes valores de \(L\) de la Tabla 7.1.

Dependencia de \(\Delta t\) con \(h\), \(L=\text{constante}\)

1. Abra el programa que realiza la simulación cuyo enlace se encuentra en la sección de Recursos.

2. Selecione la opción TEOREMA V

3. Selecione la opción Point particle y Point particle appearance \(\rightarrow\) ball.

4. Fije la longitud del plano inclinado en \(L=1\,\text{m}\) y varíe su altura en el rango \(0.5\leq h \leq2\,\text{m}\). Para cada longitud mida el tiempo \(\Delta t\) que gasta el cuerpo en llegar a la base del plano. Registre sus mediciones en la Tabla 7.2.

   Tabla 7.2 Relación entre \(\Delta t\) y \(h\)

   \(h\)	\(\Delta t\) (s)
   1.5
   2.5
   3.5
   4.5
   5.5
   6.5
   7.5
   8.0

5. Realice una gráfica de \(\Delta t\) en función de la altura \(h\).

6. Proponga un modelo para la dependencia de \(\Delta t\) con la altura \(h\), basado en el tipo de gráfica obtenido en el inciso anterior.

7. Haga uso de sus conocimientos de linealización de una función para encontrar una ecuación matemática que relacione las variables \(\Delta t\) y \(h\). Asuma una relación de a forma \(\Delta t=bh^{n}\), donde \(b\) y \(n\) son constantes que debe encontrar.

8. Verifique que la ecuación encontrada en el inciso anterior predice el tiempo de descenso de la partícula a lo largo del plano inclinado para diferentes valores de \(L\) de la Tabla 7.2.

Análisis y Preguntas

1. Basado en los resultados de los dos apartados anteriores escriba una relación entre \(\Delta t\), \(h\) y \(L\). Ayuda: debe ser una relación de la forma \(\Delta t =Ah^{n}L^{m}\). Determine el valor de \(A\).

2. Demuestre que si \(\Delta t_1\) y \(\Delta t_2\) son los tiempos de descenso para planos de altura \(h_1\), \(h_2\) y longitudes \(L_1\), \(L_2\) entonces se cumple que \(\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}=\frac{L_1}{L_2}\frac{\sqrt{h_2}}{\sqrt{h_1}}\).

3. En sus propias palabras: enuncie el teorema V de Galileo.

4. Argumente la validez de sus resultados.

5. Establezca las posibles limitaciones del fenómeno estudiado a través de la simulación.

Nota

1

Galileo Galilei (1564-1642) fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano, relacionado estrechamente con la revolución científica.