2. Movimiento armónico simple: Sistema masa resorte

Objetivo

El propósito principal de esta práctica es determinar la dependencia del periodo de oscilación de un sistema masa-resorte de la masa del cuerpo que pende y la constante elástica del resorte.

Recursos

  1. Computador o tablet con acceso a la internet.

  2. Simulación disponible en https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-springs_es.html.

Resumen teórico

Se denomina movimiento armónico simple a aquel movimiento periódico donde la aceleración \(a\) de la partícula es proporcional a su desplazamiento \(x\), es decir

(2.13)\[\begin{equation} a=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega ^{2}x \end{equation}\]

el valor \(\omega \) del movimiento mediante la expresión

(2.14)\[ \begin{equation} T=\frac{2\pi }{\omega } \end{equation}\]

La solución de la ecuación (2.13) es

(2.15)\[\begin{equation} x(t)=A\sin (\omega t+\phi ) \end{equation}\]

donde \(A\) y \(\phi\) son constantes que dependen de la forma como el sistema se puso a oscilar inicialmente.

Descripción de la interfaz de la aplicación

La Figura 2.7 muestra la interfaz gráfica del usuario que permite estudiar la dependencia del periodo de oscilación de su sistema masa-resorte de la masa del cuerpo y la constante elástica del resorte. El sistema oscila de manera vertical y las fuerzas de fricción se desprecian. La interfaz permite fijar los valores de la masa \(m\) y la dureza del resorte Masa y Constante del resorte. Se puede escoger cualquiera de los dos resortes. La interfaz proporciona dos herramientas: una regla graduada en centímetros y un cronómetro. La masa se pone a oscilar simplemente al suspender una cualquiera de las masas. La interfaz permite señalar la longitud natural del resorte, la posición de equilibrio al seleccionar las opciones Longitud natural - - - y Posición de Equilibrio - - -. La interfaz también permite seleccionar entre resortes cortos y largos.

La animación se puede detener y poner en marcha de nuevo de dos maneras: de manera continua al presionar el botón \(\blacktriangleright\) o de manera pausada con el botón \(\mid\blacktriangleright\) respectivamente. Los botones \(\rhd\) y \(\blacktriangleright\) del cronómetro y de la interfaz, se pueden sincronizar de modo que al hacer clic en el primero y luego en el segundo, el cronómetro se pone en marcha tan pronto como se inicia el movimiento, esta opción es útil para la medición del periodo de oscilación.

Figura 2.7 Interfaz gráfica del usuario.

Mediciones y Procedimientos

Se asumirá una dependencia de la forma \(T=2\pi\frac{m^{\alpha}}{k^{\beta}}\). El propósito es determinar \(\alpha\) y \(\beta\).

Relación entre \(T\) y \(m\)

  1. Fije el valor de la constante elástica del resorte en el máximo valor posible. Suspenda del resorte valores diferentes de masa, y para cada una de ellas desplácela 10 cm hacia abajo medida desde la posición de equilibrio y libérela, mida el periodo de las oscilaciones. Para ello, cronometre el tiempo \(\Delta T\) transcurrido en realizar \(N\) oscilaciones completas, el periodo de una oscilación es \(T=\frac{\Delta T}{N}\). Complete la Tabla 2.15.

  2. A partir de la tabla de datos del inciso 1 construya una gráfica de \(T\) en función de \(m\).

  3. Utilice sus conocimientos de linealización de una función para determinar la relación matemática entre \(T\) y \(m\) al encontrar el valor de \(\alpha\).

    Tabla 2.15 Datos para determinar la relación entre \(T\) y \(m\)

    Masa, \(m\) (m)

    Periodo, \(T\) (s)

    0.050

    .

    0.100

    .

    0.250

    .

Relación entre \(T\) y \(k\)

  1. Seleccione el menor valor de la constante elástica del resorte. Para determinar su valor, suspenda un cuerpo de masa conocida y mida la elongación \(\Delta x\) del resorte una vez que el sistema se encuentre en equilibrio; el valor de la constante elástica del resorte es \(k=\frac{mg}{\Delta x}\)

  2. Mantenga el mismo valor de masa suspendida en las siguientes mediciones. Varíe el valor de la constante elástica \(k\) del resorte. Una vez alcanzado el equilibrio desplace la masa hacia abajo 10 mm y libérela. Mida el correspondiente periodo de oscilación con la ayuda del cronómetro para cada valor de \(k\). Complete la Tabla 2.16

    Tabla 2.16 Datos para determinar la relación entre \(T\) y \(k\)

    Masa, \(m\) (m)

    Periodo, \(T\) (s)

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

  3. A partir de la tabla de datos del inciso 2 construya una gráfica de \(T\) en función de \(k\).

  4. Utilice sus conocimientos de linealización de una función para determinar la relación matemática entre \(T\) y \(k\) al encontrar el valor de \(\beta\).

  5. De los resultados anteriores escriba la dependencia de \(T\) con \(k\) y \(m\).

  6. Use sus conocimientos de análisis dimensional para demostrar que \(\alpha=1/2\) y \(\beta=1/2\). Compare sus resultados obtenidos en los apartados Relación entre T y m y Relación entre T y k con los valores \(\gamma=\beta=\frac{1}{2}\). ¿A qué se debe la discrepancia?

Preguntas}

Basado en los datos de la simulación y las ecuaciones que relacionan las variables \(T\), \(m\) y \(k\).

  1. ¿Qué sucede con el periodo de oscilación en el sistema masa-resorte si la masa se duplica?

  2. ¿Qué sucede con el periodo de oscilación en el sistema masa-resorte si la masa se triplica?

  3. ¿Qué sucede con el periodo de oscilación en el sistema masa-resorte si la constante elástica del resorte se duplica?

  4. ¿Qué sucede con el periodo de oscilación en el sistema masa-resorte si la constante elástica del resorte se triplica?

  5. ¿Qué sucede con el periodo de oscilación en el sistema masa-resorte si tanto la masa y la constante elástica del resorte se duplican?

  6. ¿Depende el periodo de oscilación del sistema masa-resorte del lugar (tierra, luna, júpiter) donde oscile el sistema?