4. Oscilaciones eléctricas amortiguadas

Objetivo

El propósito de esta práctica es estudiar el efecto de la resistencia eléctrica \(R\) en el caso de las oscilaciones amortiguadas libres en el circuito \(RLC\). En particular se examinan las oscilaciones sobreamortiguadas, cr'{i}ticamente amortiguadas y subamortiguadas. Para ello se carga un condensador con una batería y luego se descarga a través del resistor e inductor conectados en serie. A partir de los voltajes dependientes del tiempo en \(R\), \(L\) y \(C\) medidos mediante un osciloscopio se determina el efecto de \(R\) en el decaimiento de las oscilaciones eléctricas.

Recursos

  1. Computador o tablet con acceso a la internet.

  2. Simulación disponible en https://www.walter-fendt.de/html5/phen/oscillatingcircuit_en.htm.

Resumen teórico

Oscilaciones libres amortiguadas se presentan tanto en sistemas mecánicos como eléctricos. Las primeras fueron estudiadas en la práctica emph{Oscilaciones mecánicas Libres}. En esta práctica nos ocuparemos de las eléctricas. Para ello, consideremos el circuito de la Figura 4.7, el cual consiste de un condensador con capacitancia \(C\) conectado en serie con un resistor e inductor de valores \(R\) y \(L\) y un interruptor \(S\) de dos posiciones. Cuando el interruptor se encuentra en la posición 1, el condensador se carga. Cuando el interruptor pasa a la posición 2, el condensador se descarga. Veamos como depende la carga del condensador en función del tiempo en los casos de carga y descarga.

Descarga del condensador

Sea \(q\) es la carga del capacitor en el instante de tiempo \(t\) e \(i\) la corriente en el circuito. La relación entre estas dos cantidades es \(i=-\frac{dq}{dt}\). Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito cerrado (lazo) de la derecha resulta

Figura 4.7 Cicuito para estudiar las oscilaciones amortiguadas

(4.5)\[\begin{equation} \frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{q}{LC}=0 \end{equation}\]

La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden (4.5) admite tres posibles soluciones que dependen de los valores \(R\), \(L\) y \(C\). Si se toma como condiciones iniciales \(q=q_0\) y \(i=i_0\) en \(t=0\), y si definimos \(\lambda=\frac{R}{2L}\) y \(\omega^{2}=\frac{1}{LC}\), entonces se tiene:

  1. Oscilaciones subamortiguadas (\(\lambda ^{2}\) \(<\) \(\omega ^{2}\))

    (4.6)\[\begin{equation} q=e^{-\lambda t}[c_{1}e^{\Omega t}+c_{2}e^{-\Omega t}] \end{equation}\]

    donde \(\Omega =\sqrt{\lambda ^{2}-\omega ^{2}}\), \(c_{1}=\frac{1}{2\Omega}\left[i_{0}+(\Omega +\lambda) q_{0}\right]\) y \(c_{2}=-\frac{1}{2\Omega}\left[i_{0}-(\Omega-\lambda)q_{0}\right]\)

  2. Oscilaciones cr'{i}ticamente amortiguadas (\(\lambda ^{2}\) \(=\) \(\omega ^{2}\)).

    (4.7)\[\begin{equation} q=e^{-\lambda t}(c_{1}+c_{2}t) \end{equation}\]

    donde \(c_{1}=q_{0}\) y \(c_{2}=i_{0}+\lambda q_{0}\)

  3. Oscilaciones sobreamortiguadas (\(\lambda ^{2}\) \(>\) \(\omega ^{2}\)).

    (4.8)\[\begin{equation} q=Ae^{-\lambda t}\sin (\Omega t+\phi ) \end{equation}\]

    donde \(\Omega =\sqrt{\omega ^{2}-\lambda ^{2}}\), \(A=\sqrt{q_{0}^{2}+\frac{1}{\Omega ^{2}}\left( i_{0}+\lambda q_{0}\right)^{2}}\) y \(\phi = \arcsin \frac{q_{0}}{\sqrt{q_{0}^{2}+\frac{1}{\Omega ^{2}}\left( i_{0}+\lambda q_{0}\right) ^{2}}}\)

Mediciones

La Figura 4.8 muestra la consola de comandos que permite estudiar las oscilaciones amortiguadas de la carga \(q\) en el capacitor en función del tiempo. Fije los valores de la capacitancia, la resistencia y autoinductancia tal como indica la figura. \(\varepsilon\) representa la diferencia de potencial o voltaje máximo de la bateria. Las gráficas muestran las variaciones del voltaje en el capacitor y la corriente por el resistor e inductor. El medidor de tiempo mide el tiempo desde que el capacitor comienza a descargarse.

Figura 4.8 Interfaz gráfica del usuario

Procedimiento

  1. Seleccione el valor de la resistencia de modo que se generen oscilaciones criticamente amortiguadas. Escriba la ecuación del voltaje en el capacitor \(V=\frac{q}{C}\) como función del tiempo. Ayuda: \(i_0=0\) y \(q_0=C\varepsilon\).

  2. Seleccione un valor para la resistencia de modo que se generen oscilaciones sobre amortiguadas. Escriba la ecuación del voltaje en el capacitor \(V=\frac{q}{C}\) como función del tiempo.

  3. Seleccione el valor para la resistencia de modo que se generen oscilaciones subamortiguadas. Escriba la ecuación del voltaje en el capacitor \(V=\frac{q}{C}\) como función del tiempo.

  4. Para el caso subamortiguado, tome datos que permitan ver gráficamente que la amplitud de las oscilaciones decrece exponencialmente con el tiempo. Linealice la curva obtenida y compruebe que la pendiente de la recta está relacionada con la resistencia \(R\).

  5. Para un sistema masa-resorte que oscila libremente sobre una superficie horizontal, donde la fuerza de rozamiento se asume toma la forma \(f=-bv=-\frac{dx}{dt}\), donde \(b\) es la constante de amortiguamiento y \(x\) es la posición de la masa, la ecuación que rige el movimiento del sistema es

(4.9)\[ \begin{equation} \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m}\frac{dq}{dt}+\frac{k}{m}x=0 \end{equation}\]

Si se compara la ecuación (4.9) con la ecuación (4.5), se oberva que las ecuaciones son matemáticamente idénticas si \(q\longrightarrow x\), \(R\longrightarrow b\), \(L\longrightarrow m\) y \(\frac{1}{C}\longrightarrow k\). Lo anterior significa que para el sistema masa-resorte, también se presentarian oscilaciones criticamente amortiguadas, sobreamortiguadas y subamortiguadas. Describa para cada caso como seria el movimiento del cuerpo oscilante. ¿Qué ventaja tiene que un sistema mecánico tenga un equivalente eléctrico?