17. Transferencia de calor: conductividad térmica, calor específico, calorimetria

Objetivo

El propósito de esta práctica es estudiar la dinámica del proceso de transferencia de calor entre dos recipientes (calorímetros) que contienen líquidos a temperaturas diferentes y que se encuentran conectados mediante una barra conductora. Los dos recipientes y la barra se encuentran térmicamente aislados para evitar pérdidas de calor con el entorno.

Recursos

  1. Computador o tablet con acceso a la Internet

  2. Simulación disponible en https://www.geogebra.org/m/gxyx4b3z.

Resumen teórico

El calor o energía térmica fluye de los cuerpos más calientes a los más fríos. La energía térmica (calor) se transfiere de tres maneras básicas: conducción, convección y radiación. Así, cuando un recipiente de aluminio y lleno de agua caliente se coloca en un cuarto, el agua pierde calor: a) por conducción a través de la paredes de aluminio del recipiente ( por contacto directo con moléculas más frías); b) por convección cuando las moléculas que forman el vapor y dejan el recipiente chocan con moléculas del aire, haciendo que estas aumenten su energía cinética y c) por radiación debido a que se emiten ondas electromagnéticas por el hecho de que el agua se encuentra a una temperatura absoluta diferente de cero.

Ahora, si los extremos de una barra conductora (por ejemplo hecha de Cu, Al, etc) de longitud \(L\) y sección transversal \(A\) se mantienen a a temperaturas fijas \(T_{2}\) y \(T_{1}\) (\(T_{2}>T_{1}\)) (ver Figura 17.7), entonces fluye calor \(q\) a lo largo de la barra con rapidez dada por:

(17.21)\[\begin{equation} \frac{dq}{dt}=kA\frac{T_{2}-T_{1}}{L} \end{equation}\]

donde \(k\) es la conductividad térmica de la barra dada en \(W/m\cdot K\). La ecuación (17.21) es válida cuando los extremos de la barra se han mantenido a temperaturas fijas \(T_{2}\) y \(T_{1}\) por un tiempo suficientemente largo de modo que se haya alcanzado el equilibrio térmico y la barra se encuentre aislada térmicamente de su alrededor de modo que el calor solo fluya a lo largo de esta, del extremo más caliente al más frío.

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Figura 17.7 Distribución estacionaria de temperatura a lo largo de la barra aislada térmicamente. Los extremos de la barra de mantienen a temperaturas fijas \(T_2\) y \(T_1\), (\(T_2\) > \(T_1\)).

Por otra parte, la cantidad de calor \(Q\) suministrado a un cuerpo de masa \(m\) (sin ocasionar un cambio de fase) genera un cambio de temperatura \(\Delta T\) en el mismo dado por

(17.22)\[\begin{equation} Q=mc\Delta T \end{equation}\]

la constante de proporcionalidad \(c\) se denomina el calor específico y depende de la naturaleza de la sustancia. Las unidades de \(c\) son \(J/kg\cdot K\).

Considere el sistema mostrado en la Figura 17.8. El sistema consta de dos calorímetros 1 y 2 térmicamente aislados, los cuales contienen líquidos cuyas masas, calores escpecíficos y temperaturas iniciales son \(m_{1}\), \(c_{1}\), \(T_{10}\) y \(m_{2}\), \(c_{2}\), \(T_{20}\) respectivamente. Los dos recipientes se encuentran conectados mediante una barra conductora aislada. La longitud, sección transversal y conductividad térmica son \(L\), \(A\) y \(k\) respectivamente. Los recipientes intercambian energía térmica solo a través de la barra.

Supongamos que en el instante de tiempo \(t\) las temperaturas de los recipientes 1 y 2 son \(T_{1}(t)\) y \(T_{2}(t)\) y que \(T_{2}(t)>T_{1}(t)\). En un tiempo \(% t+dt\) las temperaturas cambian a \(T_{2}+dT_{2}\) y \(T_{1}+dT_{1}\) debido al intercambio de calor. Al disminuir la temperatura del recipiente 2 en \(dT_{2}\) este cede una cantidad de calor igual a \(dq=-m_{2}c_{2}dT_{2}\) al recipiente 1 a través de la barra. Luego por conservación de la energía se cumple:

(17.23)\[\begin{equation} -m_{2}c_{2}\frac{dT_{2}}{dt}=\frac{kA}{L}(T_{2}-T_{1}) \end{equation}\]
(17.24)\[\begin{equation} m_{1}c_{1}\frac{dT_{1}}{dt}=\frac{kA}{L}(T_{2}-T_{1}) \end{equation}\]

reescribiendo las anteriores ecuaciones resulta

(17.25)\[\begin{equation} \frac{dT_{1}}{dt}=-\frac{kA}{m_{1}c_{1}L}T_{1}+\frac{kA}{m_{1}c_{1}L}T_{2} \end{equation}\]
(17.26)\[\begin{equation} \frac{dT_{2}}{dt}=\frac{kA}{m_{2}c_{2}L}T_{1}-\frac{kA}{m_{2}c_{2}L}T_{2} \end{equation}\]
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Figura 17.8 Los calorímetros 1 y 2 contienen líquidos a temperaturas iniciales \(T_{10}\) y \(T_{20}\) respectivamente y se encuentran conectados mediante una barra conductora aislada térmicamente, la cual permite el flujo de energía térmica o calor entre los líquidos. Así, a medida que pasa el tiempo \(T_2(t)\) disminuye mientras que \(T_1(t)\) aumenta hasta alcanzarse el equilibrio térmico

Las ecuaciones (17.25) y (17.26) representan un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y acopladas. Este sistema debe ser solucionado sujeto a las condiciones iniciales

(17.27)\[\begin{equation} T_{1}(t=0)=T_{10}\mbox{,}\hspace{1cm}T_{2}(t=0)=T_{20} \end{equation}\]

La solución de este sistema de ecuaciones es 1 :

(17.28)\[\begin{equation} T_{1}(t) =\frac{PT_{20}+QT_{10}}{P+Q}+\frac{T_{10}-T_{20}}{P+Q}Pe^{-(P+Q)t} \end{equation}\]
(17.29)\[\begin{equation} T_{2}(t) =\frac{PT_{20}+QT_{10}}{P+Q}-\frac{T_{10}-T_{20}}{P+Q}Qe^{-(P+Q)t} \end{equation}\]

donde

(17.30)\[\begin{equation} P=\frac{kA}{m_{1}c_{1}L}\mbox{,}\hspace{1cm}Q=\frac{kA}{m_{2}c_{2}L} \end{equation}\]

Descripción de la interfaz de la aplicación

La Figura 17.9 muestra la interfaz gráfica del usuario para estudiar la transferencia de calor entre recipientes a diferentes temperaturas a través de una barra conductora. Se tienen tres columnas de barras de desplazamiento. La columna 1 (verde) permite seleccionar la conductividad térmica \(\kappa\) de la barra cilíndrica, su longitud \(L\) y su radio \(r\). La columna 2: (azul) permite seleccionar la masa \(m_2\), el calor específico \(c_2\) y temperatura inicial \(T_{20}\) del líquido del recipiente 1 y la columna 3: (rojo) permite seleccionar la masa \(m_1\), el calor específico \(c_1\) y la temperatura inicial \(T_{10}\) del líquido del recipiente 2. Al seleccionar los parámetros anteriores la aplicación traza las temperaturas \(T_1\) y \(T_2\) de los líquidos en función del tiempo. La aplicación también muestra la temperatura de equilibrio de los líquidos.

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Figura 17.9 Interfaz gráfica del usuario para estudiar la transferencia de calor entre recipientes a diferentes temperaturas a través de una barra conductora.

Mediciones y procedimientos

Efecto de la conductividad térmica de la barra

  1. Seleccione un líquido en cada recipiente al fijar por ejemplo: \(m_1=m_2=2.0\,\text{kg}\), \(c_1=c_2=2030\,\text{J/kg}\cdot \text{K}\) y temperaturas iniciales \(T_1=10\,^{o}\text{C}\) y \(T_2=90\,^{o}\text{C}\). Seleccione la longitud \(L\) y radio \(r\) de la barra por ejemplo \(L=0.02\,\text{m}\) y \(r=0.02\,\text{m}\). Varíe la conductividad \(\kappa\) de la barra y observe el comportamiento de las temperaturas de los líquidos. ¿Cómo afecta la conductividad de la barra en que tan rápido se alcanza la temperatura de equilibrio?

Efecto de la longitud de la barra

  1. Seleccione un líquido en cada recipiente al fijar por ejemplo: \(m_1=m_2=2.0\,\text{kg}\), \(c_1=c_2=2030\,\text{J/kg}\cdot K\) y temperaturas iniciales \(T_1=10\,^{o}\text{C}\) y \(T_2=90\,^{o}\text{C}\). Seleccione la conductividad \(\kappa\) y radio \(r\) de la barra, por ejemplo \(\kappa=290.1\,\text{W/m}\cdot \text{K}\) y \(r=0.02\,\text{m}\). Varíe la longitud \(L\) de la barra y observe el comportamiento de las temperaturas de los líquidos. ¿Cómo afecta la longitud de la barra en que tan rápido se alcanza la temperatura de equilibrio?

Efecto del radio de la barra

  1. Seleccione un líquido en cada recipiente al fijar por ejemplo: \(m_1=m_2=2.0\,\text{kg}\), \(c_1=c_2=2030\,\text{J/kg}\cdot \text{K}\) y temperaturas iniciales \(T_1=10\,^{o}\text{C}\) y \(T_2=90\,^{o}\text{C}\). Seleccione la conductividad \(\kappa\) y longitud \(L\) de la barra, por ejemplo \(\kappa=290.1\,\text{W/m}\cdot \text{K}\) y \(L=0.02\,\text{m}\). Varíe el radio \(r\) de la barra y observe el comportamiento de las temperaturas de los líquidos. ¿Cómo afecta el radio de la barra en que tan rápido se alcanza la temperatura de equilibrio?

Efecto de las cantidades de las sustancias en los recipientes

  1. Seleccione un líquido en cada recipiente al fijar por ejemplo: \(c_1=c_2=2030\,\text{J/kg}\cdot \text{K}\) y temperaturas iniciales \(T_1=10\,^{o}\text{C}\) y \(T_2=90\,^{o}\text{C}\). Seleccione la conductividad \(\kappa\), longitud \(L\) y radio de la barra, por ejemplo \(\kappa=290.1\,\text{W/m}\cdot \text{K}\), \(L=0.02\,\text{m}\) y \(L=0.02\,\text{m}\) . Fije \(m_1=1\,\text{kg}\) y varíe \(m_2\). ¿Cómo afecta que \(m_2>m_1\) en que tan rápido se alcanza la temperatura de equilibrio?

Efecto de los calores específicos de las sustancias en los recipientes

  1. Seleccione un líquido en cada recipiente al fijar por ejemplo: \(m_1=m_2=2.0\,\text{kg}\) y temperaturas iniciales \(T_1=10\,^{o}\text{C}\) y \(T_2=90\,^{o}\text{C}\). Seleccione la conductividad \(\kappa\), longitud \(L\) y radio de la barra, por ejemplo \(\kappa=290.1\,\text{W/m}\cdot \text{K}\), \(L=0.02\,\text{m}\) y \(L=0.02\,\text{m}\) . Fije \(c_1=2030\,\text{J/kg}\cdot \text{K}\) y varíe \(c_2\). ¿Cómo afecta que \(c_2>c_1\) en que tan rápido alcanza la temperatura de equilibrio?

Efecto de las temperaturas iniciales de los líquidos en los recipientes

  1. Seleccione un líquido en cada recipiente al fijar por ejemplo: \(m_1=m_2=2.0\,\text{kg}\), \(c_1=c_2=2030\,\text{J/kg}\cdot \text{K}\). Seleccione la conductividad \(\kappa\) y longitud \(L\) de la barra, por ejemplo \(\kappa=290.1\,\text{W/m}\cdot \text{K}\) y \(L=0.02\,\text{m}\). Fije \(T_1=10\,^{o}\text{C}\), temperatura del líquido de la derecha. Varíe la temperatura \(T_2\) y observe el comportamiento de las temperaturas de los líquidos. ¿Cómo afecta que \(T_2-T_1\) sea muy grande en que tan rápido se alcance la temperatura de equilibrio?

Consideraciones analíticas

Examine las expresiones (17.28) y (17.29). Verifique que las temperaturas se hacen iguales después de un tiempo muy grande (\(t \rightarrow \infty\)), es decir, se alcanza el equilibrio térmico y que el valor de esta temperatura \(T_{e}\) es:

(17.31)\[\begin{equation} T_{e}=T_{1}(t\rightarrow \infty )=T_{2}(t\rightarrow \infty )=\frac{PT_{20}+QT_{10}}{P+Q}=\frac{m_{1}c_{1}T_{10}+m_{2}c_{2}T_{20}}{m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}} \end{equation}\]

Nótese que la temperatura dada por la ecuación (17.31) es la misma que se obtendría si tuviéramos inicialmente dos líquidos con masas, calores específicos y temperaturas iniciales \(m_{1}\), \(c_{1}\), \(T_{10}\) y \(m_{2}\), \(c_{2}\), \(T_{20}\) respectivamente y los mezcláramos directamente. Esta temperatura es la temperatura de equilibrio de la mezcla.

Discusión y Conclusiones

Realice un análisis de sus observaciones e indique como debería modificarse el modelo para tener en cuenta el caso donde los recipientes y la barra no se encontraran térmicamente aislados y escriba sus conclusiones.

1

Solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales (17.25) y (17.26) significa que debemos encontrar funciones \(T_{1}\) y \(T_{2}\) como funciones del tiempo \(t\) que satisfagan estas ecuaciones junto con las condiciones iniciales dadas por (17.27). Existen varias técnicas para solucionar sistemas de ecuaciones de esta naturaleza. Ver por ejemplo 2

2

Dennis G. Zill, Ecuaciones deiferenciales con aplicaciones de modelado, Thompson Learning, Loyola Marymout University, séptima edición, 2001.