12. Choques en una dimensión¶

Objetivo El propósito de esta práctica es estudiar la conservación de la cantidad de movimiento lineal y la energía.

Recursos

Computador o tablet con acceso a la internet.

Simulación disponible en https://ophysics.com/e2.html.

Resumen teórico

Cuando dos o más cuerpos chocan entre sí, el momentum total del sistema se conserva sin importar el tipo de choque siempre y cuando el sistema se encuentre aislado. Existen varios tipos de choques: elásticos, inelásticos y completamente inelásticos. En un choque elástico tanto la energía cinética como el momentum del sistema permanecen constantes. En un choque inelástico o completamente inelástico solo el momentum del sistema permanece constante. La mayoría de los choques que suceden en la naturaleza son inelásticos. Un choque es completamente inelástico cuando los cuerpos quedan pegados después del choque. Para el choque en una dimensión de la Figura 12.1, la conservación del momentum y la energía se escriben como:

Figura 12.1 Choque elástico¶

(12.1)¶\[\begin{equation} m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}^{\prime }+m_{2}v_{2}^{\prime } \end{equation}\]

(12.2)¶\[\begin{equation} \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{\prime 2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{\prime 2} +Q \end{equation}\]

donde \(v_{1}\), \(v_{1}^{\prime}\) y \(v_{2}\), \(v_{2}^{\prime}\) representan las velocidades iniciales y finales de los cuerpos con masas \(m_{1}\) y \(m_{2}\) respectivamente. \(Q\) representa la energía cinética ganada o perdida en el choque, de tal manera que si:

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} Q &=& 0,\,\text{Colisión elástica} \\ Q &>& 0,\,\text{Colisión inelástica} \\ Q &<& 0,\,\text{Colisión super elástica} \end{eqnarray*}\end{split}\]

Como los choques ocurren en una dimensión (eje \(x\)), por simplicidad se omite la notación vectorial. El signo de \(v\) denota la dirección, si \(v\) es positiva entonces su dirección es \(+x\) y si \(v\) negativa su dirección es \(-x\).

Si el choque es elástico (\(Q = 0\)) y se conocen las masas y las velocidades iniciales, al combinar las ecuaciones (12.1), (12.2) y resolver para \(v_{1}^{\prime }\), \(v_{2}^{\prime }\) resulta

(12.3)¶\[\begin{equation} v_{1}^{\prime } =\frac{(m_{1}-m_{2})v_{1}+2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{equation}\]

(12.4)¶\[\begin{equation} v_{2}^{\prime }=\frac{(m_{2}-m_{1})v_{2}+2m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}} \end{equation}\]

Para un choque completamente inelástico (ver Figura 12.2) la conservación del momentum y la energía son

Figura 12.2 Choque inelástico¶

(12.5)¶\[ \begin{equation} m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m_{1}+m_{2})V \end{equation}\]

(12.6)¶\[\begin{equation} \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}=\frac{1}{2}% (m_{1}+m_{2})V^{2}+Q \end{equation}\]

donde \(v_{1}\) y \(v_{2}\) representan las velocidades iniciales de los cuerpos con masas \(m_{1}\ \) antes del choque y \(V\) es la velocidad del cuerpo de masa total \(m_{1}+m_{2}\) después del choque. \(Q\) es la energía que se gasta para deformar los objetos y que se pierde en forma de calor. Al solucionar \(Q\) de las expresiones (12.5) y (12.6) resulta

(12.7)¶\[\begin{equation} Q= \frac{1}{2}m_{1}m_{2}\frac{\left( v_{1}-v_{2}\right) ^{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{equation}\]

Descripción del problema

Consideremos el sistema mostrado en la Figura 12.1 y asumamos que los cuerpos de masas \(m_{1}\) y \(m_{2}\) tienen velocidades \(v_{1}=v\) y \(v_{2}=0\) antes del choque. Si la colisión es elástica, las ecuaciones (12.3) y (12.4) se reducen a:

(12.8)¶\[\begin{equation} v_{1}^{\prime } =\frac{(m_{1}-m_{2})v}{m_{1}+m_{2}} =u_1v \end{equation}\]

(12.9)¶\[\begin{equation} v_{2}^{\prime } =\frac{2m_{1}v}{m_{1}+m_{2}}=u_2v \end{equation}\]

donde \(u_{1}=\frac{(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}\) y \(u_{2}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\) respectivamente. Si el choque es completamente inelástico, las ecuaciones (12.5) y (12.7) se reducen a:

(12.10)¶\[\begin{equation} V=\frac{m_1v}{m_1+m_2}=u_3v \end{equation}\]

donde \(u_3=\frac{m_1}{m_1+m_2}\)

(12.11)¶\[\begin{equation} Q=\frac{1}{2}m_{1}m_{2}\frac{v^{2}}{m_{1}+m_{2}} \end{equation}\]

Note que al verificar la dependencia emph{lineal} entre \(v_{1}^{\prime }\) y \(v\); \(v_{2}^{\prime }\) y \(v\); y \(V\) y \(v\) hemos comprobado la conservación del momentum y la energía. ?`Por qué?

Descripción de la interfaz de la aplicación

La Figura 12.3 muestra la interfaz gráfica del usuario que permite estudiar la conservación de la cantidad de movimiento lineal y la conservación de la energía. Desde la interfaz se pueden seleccionar las velocidades iniciales y los valores de las masas de los cuerpos que interactúan a través de la barras deslizables de colores rojo y azul rotuladas Initial velocity of red box, mass of red box y Initial velocity of blue box, mass of blue box respectivamente. Mediante la barra de desplazamiento rotulada elasticity se selecciona el tipo de colisión: 1 elástica, 0 totalmente inelástica y \((0-1)\) inelástica. Una vez que ocurre la colisión, la aplicación muestra de manera numérica tanto la energía cinética \(KE\) y cantidad de movimiento \(p\) inicial y final para cada cuerpo. Las gráficas muestran las velocidades y cantidad de movimiento lineal de cada cuerpo y del centro de masa en función del tiempo. De igual manera de despliega la posición y centro de masa (COM) de los dos cuerpos. Los botones Run, Pause y Set permiten iniciar, pausar y comenzar de nuevo la animación respectivamente.

Figura 12.3 Interfaz gráfica del usuario.¶

Mediciones y procedimientos

Colisión elástica

Fije valores de masas, ajuste la velocidad inicial de la masa 2 (\(v_2\)) en 0 y valor de la elasticidad en 1. Para diferentes valores de la velocidad inicial de la masa 1 (\(v\)), registre las correspondientes velocidades finales y complete la Tabla 12.1.

Tabla 12.1 Datos colisión eelástica¶

\(v\) (m/s)

\(v_1^{'}\) (m/s)

\(v_2^{'}\) (m/s)

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Elabore las gráficas de \(v_1'\) vs \(v\), \(v_2'\) vs \(v\) para comprobar la linealidad de las ecuaciones (12.8) y (12.9) mediante el análisis estadístico de los datos. Nota: para esto considere a \(v\) como la variable independiente y las pendientes, en cada caso, estarán relacionadas con los valores \(u_1\) y \(u_2\), que se deben utilizar para comparar resultados.

Colisión completamente inelástica

Fije valores de masas, ajuste la velocidad inicial de la masa 2 (\(v_2\)) en 0 y valor de la elasticidad en 0. Para diferentes valores de la velocidad inicial de la masa 1 (\(v\)), registre la correspondiente velocidad final \(V\) y complete la Tabla 12.2.

Tabla 12.2 Datos colisión inelástica¶

\(v\) (m/s)

\(V\) (m/s)

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Elabore la gráfica de \(V\) vs \(v\) para comprobar la linealidad de la ecuación (12.10), mediante el análisis estadístico de los datos. Compare el valor de la pendiente con el resultado de calcular \(u_3\).

Análisis y preguntas

Establezca las posibles limitaciones del fenómeno estudiado a través de la simulación.

Discuta con sus compañeros acerca de la energía perdida en el segundo experimento, para cada valor de velocidad inicial \(v\). ¿Es posible cuantificarla? De ser así, ¿cuál es su valor?

Averigüe que es una colisión super elástica y utilice el simulador para revisar su comportamiento. Identifique al menos dos casos de este tipo de colisión.

Para colisiones el'asticas en una dimensi'on y haciendo uso del simulador, revise los siguientes casos: a) Masas iguales, b) \(m_1 \gg m_2\) y c) \(m_1 \ll m_2\). Encuentre ejemplos cotidianos donde sea posible estos casos especiales.

¿Qué significa un \(Q\) grande?

¿Qué tipo de colisi'on ocurre cuando un asteroide choca con un planeta?

Consulte qué es el CERN y qué tipos de experimento hacen.

Enumere al menos dos tipos de colisiones el'asticas.

Idee un experimento mecánico simple que permita medir la velocidad de un bal'on de fútbol.