11. +Fuerza entre placas de un condensador de placas paralelas¶
Objetivo
El propósito de esta práctica es determinar la capacitancia \(C\) de un condensador de placas paralelas a partir de la medición de la fuerza de atraccción entre las placas cuando la diferencia de potencial entre éstas cambia.
Recursos
Placas matáticas
Balanza digital
Fuente de alta tensión
Cables de conexión
Resumen teorico
Consideremos los sistemas mostrados en la figura Figura 11.4 y la Figura 11.5. Estos constan de un par de placas conductoras de área \(A\) y separadas una distnancia \(x\). La placa de la izquierda se encuentra fija y la placa de la derecha es móvil. En el primer sistema las placas tienen cargas \(+Q\) y \(-Q\) constantes. En el segundo sistema las placas se mantienen a una diferencia de potencial constante \(V\). En ambas situaciones a la placa de la derecha se le debe aplicar una fuerza \(F\) para mantener la distancia de separación \(x\) constante. Hallemos el valor de \(F\).
Figura 11.4 Las placas se separan manteniendo la carga de las placas \(+Q\) y \(-Q\) constante.¶
Figura 11.5 Las placas se separan manteniendo la diferencia de potencial \(V\) entre las placas constante.¶
Denotemos por \(C_0\) y \(C\) las capacitancias del sistema cuando la distancia de separación ente las plcas es \(x\) y \(x+\Delta x\) respectivamente.
\(Q\) = constante. El cambio de energía del condensador es
\[\Delta U=\frac{Q^{2}}{2C}-\frac{Q^{2}}{2C_{0}}=\frac{Q^{2}}{2}[\frac{1}{C}-\frac{1}{C_{0}}]=\frac{Q^{2}}{2}[\frac{1}{\frac{\varepsilon _{0}A}{x+\Delta x}}-\frac{1}{\frac{\varepsilon _{0}A}{x}}]=\frac{Q^{2}}{2\varepsilon _{0}A}\Delta x\]Por otra parte, el trabajo hecho por la fuerza \(F\) es \(\Delta W=F\Delta x\). Usando la conservación de la energía:
\[\begin{split}\begin{eqnarray*} \Delta W &=&\Delta U \\ F\Delta x &=&\frac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}A}\Delta x \end{eqnarray*}\end{split}\]Despejando el valor de \(F\) en esta ultima expresión se sigue que
(11.4)¶\[\begin{equation} F=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0A}=\frac{1}{2}\frac{C^2V^2}{\varepsilon_0A} \end{equation}\]\(V\) = constante El cambio de energía del condensador es
\[\Delta U=\frac{1}{2}CV^{2}-\frac{1}{2}C_{0}V^{2}=\frac{1}{2}[C-C_{0}]V^{2}=\frac{1}{2}\Delta C\cdot V^{2},\]donde la variación en la capacitancia \(\Delta C\) es
\[\Delta C=\frac{\varepsilon _{0}A}{x+\Delta x}-\frac{\varepsilon _{0}A}{x}=\varepsilon _{0}A\left[ \frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}\right]=-\varepsilon _{0}A\left[ \frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}\right] \simeq-\varepsilon _{0}A\frac{\Delta x}{x^{2}}\]Así,
\[\Delta U=\frac{1}{2}\Delta C\cdot V^{2}\simeq -\frac{1}{2}\varepsilon_{0}AV^{2}\frac{\Delta x}{x^{2}}\]hemos hecho la aproximaxion \(x+\Delta x\simeq x\) ya que \(\Delta x<<x.\) Por otra parte, dado que la bateria se encuentra conectada a las placas y la capacitancia disminuye al aumentar la distancia entre las placas, la batería realiza un trabajo, el cual es dado por
\[\Delta W_{b}=\Delta qV=\Delta C\cdot V\cdot V\simeq -\varepsilon_{0}AV^{2}\frac{\Delta x}{x^{2}}\]Por otra parte, el trabajo hecho por la fuerza \(F\) es \(\Delta W=F\Delta x.\) Usando la conservacion de la energía:
\begin{eqnarray*} \Delta W+\Delta W_{b}&=&\Delta U \\ F\Delta x-\varepsilon_{0}AV^{2}\frac{\Delta x}{x^{2}} &=&-\frac{1}{2}\varepsilon_{0}AV^{2}\frac{\Delta x}{x^{2}} \end{eqnarray*}Despejando el valor de \(F\) es esta ultima expresión se sigue que
(11.5)¶\[\begin{equation} F=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}AV^{2}\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{2}\frac{\varepsilon_{0}A}{x^{2}}V^{2}=\frac{1}{2}\frac{C^{2}}{\varepsilon_{0}A}V^{2} \end{equation}\]Nota
La fuerza que se requiere para mantener las placas separadas una distancia \(x\) cuando estas tienen carga \(+Q\) y \(-Q\) es la misma que cuando las placas se mantienen a una diferencia de potencial \(V\) constante.
De la ecuación (11.4) se sigue que la relación entre la fuerza :math: y la diferencia de potencial \(V\) entre las placas es cuadrática. Dicho de otra manera, la fuerza \(F\) depende linealmente de \(V^{2}\) y el coeficiente de proporcionalidad es \(\eta =\frac{1}{2}\frac{C^{2}}{\varepsilon _{0}A}\). Esto significa que si realizamos una gráfica de \(F\) vs \(V^{2}\), la pendiente de la recta es
De la expresión (11.6) se sigue que determinado el valor de \(\eta\) el valor de la capacitancia del sistema es dado por
Descripción del Problema
El arreglo experimental para determinar la capacitancia (ver Figura 11.6) consiste esencialmente de un par de placas paralelas, una fuente de alto voltaje (0-20 kV), una balanza electrónica y una placa dieléctrica. La placa \(2\) reposa sobre un bloque ligero de madera y este a su vez reposa sobre el platillo de la balanza. El propósito del bloque es permitir la lectura registrada por la balanza. La placa \(1\) se encuentra suspendida de un soporte de modo que las placas queden paralelas, con una distancia de separación \(x\) en el rango \(1.0<x<3.0\) cm y aisladas eléctricamente. A las placas \(1\) y \(2\) se les aplica una diferencia de potencial \(V\). Dado que la fuerza \(F\) entre las placas es atractiva, la placa \(2\) experimenta una fuerza hacia arriba y por tanto la lectura de la balanza disminuye. Esta disminución en la lectura de la balanza corresponde a la fuerza dada por la expresión (11.4) ó (11.5). Entre las placas \(1\) y \(2\) también se puede colocar una lamina dieléctrica de modo que repose directamente sobre la placa \(2\) y el efecto de atracción entre las placas se va observar también.
Figura 11.6 Arreglo experimental para determinar la capacitancia.¶
Mediciones
PELIGRO ALTO VOLTAJE
Realice el montaje que se describe en la Figura 11.6. Asegúrese de hacer las conexiones con la fuente apagada. NO encienda la fuente de alto voltaje sin el visto bueno del instructor. Establezca la distancia de separción entre las placas en el rango sugerido arriba. Complete la Tabla 11.1 de mediciones. Grafique \(mg\) en función de \(V\), luego linealice los datos al graficar \(mg\) en función de \(V^2\) y utilice la ecuación (11.7) para determinar \(C\).
Masa (g) |
Voltaje (kV) |
|---|---|
0.0 |
0.00 |
0.5 |
|
1.0 |
|
1.5 |
|
2.0 |
|
2.5 |
|
3.0 |
|
3.5 |
|
4.0 |
|
5.0 |
|
6.0 |
|
7.0 |
|
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