3. Tiempo de vaciado de un recipiente

Objetivo

Esta actividad tiene como finalidad estudiar de manera cuantitativa la forma en que los factores geométricos de un recipiente que contiene agua determinan el tiempo de vaciado del mismo.

Recursos

1. Computador o tablet o cualquier otro dispositivo con conexión a internet.

2. Simulación disponible en https://www.geogebra.org/m/zyv5evad.

Situación

Cuando se tiene un recipiente cilíndrico con un líquido, Figura 3.1, al cual previamente le hemos practicado un orificio en el fondo y permitimos que el líquido salga por este orificio, el nivel del líquido en el recipiente desciende a medida que pasa el tiempo y eventualmente se hace cero. Cuanto tiempo gasta el recipiente en desocuparse completamente depende de ciertos factores como son el radio \(R\) del recipiente, la altura \(H_0\) inicial del nivel del líquido en el recipiente, el radio \(r\) del orifico y la naturaleza del líquido. Esta actividad tiene como finalidad encontrar la relación matemática que existe entre el tiempo \(T\) de vaciado de un recipiente cilíndrico que contiene agua con \(r\), \(H_0\) y \(R\). Asumiremos que la relación entre \(T\), \(r\), \(R \) es de la forma \(T=AR^{m}r^{n}H_0^{p}\), donde \(A\), \(m\), \(n\) y \(p\) son números reales. Así, el objetivo es determinar los valores de \(m\), \(n\), \(p\) y \(A\).

Figura 3.1 Recipiente cilíndrico con orificio en el fondo

Descripción de la interfaz de la aplicación

La Figura 3.2 muestra la interfaz gráfica del usuario que permite estudiar la dependencia del tiempo \(T\) de vaciado de un recipiente cilíndrico que contiene agua, de la altura del nivel inicial \(H_0\) de agua, del radio \(R\) del recipiente y el radio \(r\) del orificio por donde se evacua el agua. La interfaz permite establecer los valores de estas cantidades mediante las barras de desplazamiento rotuladas Initial height, Tank radius y Hole radius respectivamente. Una vez seleccionados los valores de estas cantidades, el usuario puede llenar el tanque al presionar el botón Fill y medir el tiempo de descarga del recipiente al presionar el botón Empty. A medida que el tanque se descarga aparece la señal Discharging tank y una vez completado el proceso aparece la señal Empty tank. Ahora se está listo para hacer cambios en los parámetros y tomar medidas de nuevo.

Figura 3.2 Interfaz del usuario.

Mediciones y procedimientos

Relación entre \(T\) y \(H_0\)

1. Para determinar la relación entre \(T\) y \(H_0\) mantenga \(r\) y \(R\) fijos. Se sugiere por ejemplo tomar \(r=0.2\,\text{cm}\) y \(R=3,0\,\text{cm}\). Realice la toma de datos y para ello complete la Tabla Tabla 3.1

   Tabla 3.1 Relación entre \(T\) y \(H_0\)

   Tiempo \(T\) (s)	Altura \(H_0\) (cm)
   1.0
   2.0
   3.0
   4.0
   5.0
   6.0
   7.0
   8.0
   9.0
   10.0

2. Realice una gráfica de \(T\) en función de \(H_0\).

3. Haga uso de sus conocimientos de linealización de una función para encontrar una ecuación matemática que relaciona las variables \(T\) y \(H_0\). Determine el valor de \(p\).

Relación entre \(T\) y \(r\)

1. Para determinar la relación entre \(T\) y \(r\) mantenga \(H_0\) y \(R\) fijos. Se sugiere por ejemplo tomar \(H_0=6.0\,\text{cm}\) y \(R=3.0\,\text{cm}\) . Realice la toma de datos y para ello complete la Tabla Tabla 3.2

   Tabla 3.2 Relación entre \(T\) y \(r\)

   Tiempo \(T\) (s)	Altura \(r\) (cm)
   0.1
   0.2
   0.3
   0.4
   0.5
   0.6
   0.7
   0.8

2. Realice una gráfica de \(T\) en función de \(r\).

3. Haga uso de sus conocimientos de linealización de una función para encontrar una ecuación matemática que relaciona las variables \(T\) y \(r\). Determine el valor de \(n\).

Relación entre \(T\) y \(R\)

1. Para determinar la relación entre \(T\) y \(R\) mantenga \(r\) y \(H_0\) fijos. Se sugiere por ejemplo tomar \(r=0.2\,\text{cm}\) y \(H=5.0\,\text{cm}\). Realice la toma de datos y para ello complete la Tabla Tabla 3.3

   Tabla 3.3 Relación entre \(T\) y \(R\)

   Tiempo \(T\) (s)	Radio \(R\) (cm)
   1.0
   1.5
   2.0
   2.5
   3.0
   3.5
   4.0
   4.5
   5.0

2. Realice una gráfica de \(T\) en función de \(R\).

3. Haga uso de sus conocimientos de linealización de una función para encontrar una ecuación matemática que relaciona las variables \(T\) y \(R\). Determine el valor de \(m\).

Análisis y preguntas

1. Determine el valor de la constante \(A\) propuesto en el modelo \(T=AR^{m}r^{n}H_0^{p}\), y explique detalladamente el procedimiento que conduce a la determinación de su valor.

2. Use la relación matemática encontrada para calcular el tiempo de vaciado de un recipiente con \(R=5.0\,\text{cm}\), \(r=0.5\,\text{cm}\) y \(H_0=10\,\text{cm}\). Compare el valor obtenido con el tiempo 14.29 s, el cual es el valor que predice la simulación.

3. Establezca las posibles limitaciones del fenómeno estudiado en la simulación.

4. ¿Qué sucede con el tiempo de vaciado del recipiente si el radio del orificio se duplica?

5. ¿Qué sucede con el tiempo de vaciado del recipiente si el radio del recipiente se triplica?

6. ¿Qué sucede con el tiempo de vaciado del recipiente si la altura inicial del agua en el recipiente se reduce a la mitad?