16. Circuito RC

Objetivo

El propósito de esta práctica es estudiar el proceso de carga y descarga de un capacitor.

Recursos

  1. Computador o tablet con acceso a la internet.

  2. Simulación disponible en http://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/RC_circuit.html.

Resumen teórico

Carga del Capacitor

Consideremos el circuito mostrado en la Figura 16.4, el cual consta de una fuente de voltaje \(\varepsilon\), un resistor de resistencia \(R\), un capacitor de capacitancia \(C\) y un interruptor \(S\). Inicialmente, el capacitor tiene una carga \(q_0\). Al cerrar \(S\), la carga \(q\) en el capacitor crece en el tiempo \(t\). La corriente eléctrica en el circuito es \(i=\frac{dq}{dt}\). Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al lazo cerrado resulta

(16.6)\[\begin{equation} \frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}q=\frac{\varepsilon }{R} \end{equation}\]
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Figura 16.4 Circuito RC: Carga del capacitor

La solución de la ecuación (16.6) sujeta a la condición inicial \(q=q_0\) en \(t=0\) es

(16.7)\[\begin{equation} q(t)=C\varepsilon -(C\varepsilon-q_0)e^{-\frac{t}{\tau }} \end{equation}\]

donde \(\tau =RC\) es la constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito. Obsérvese que la carga final del capacitor es \(C\varepsilon\), independiente de la carga inicial que tenía en \(t=0\). Los voltajes en el capacitor y el resistor son \(V_{c}=\frac{q}{C}\) y \(V_R=Ri\) respectivamente.

Descarga del Capacitor

Inicialmente la carga del capacitor es \(Q_0\), ver Figura 16.5. Al cerrar el interruptor \(S\), el capacitor se descarga a través del resistor, es decir su carga decrece en el tiempo \(t\). La corriente eléctrica en el circuito es \(i=-\frac{dq}{dt}\). Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al lazo cerrado, resulta

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Figura 16.5 Circuito RC: descarga del capacitor

(16.8)\[\begin{equation} \frac{dq}{dt}=-\frac{1}{RC}q \end{equation}\]

La solución de la ecuación (16.8) sujeta a la condición inicial \(q=Q_0 \) es

(16.9)\[\begin{equation} q(t)=Q_0 e^{-\frac{t}{\tau _{c}}} \end{equation}\]

donde \(\tau _{c}=RC\) es la constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito. Los voltajes en el capacitor y el resistor son \(V_{c}=\frac{q}{C}\) y \(Ri\) respectivamente.

Descripción de la interfaz de la aplicación

La Figura 16.6 muestra la interfaz gráfica del usuario, esta permite estudiar los procesos de carga y descarga de un capacitor a través de un resistor. La interfaz permite seleccionar los valores de la resistencia y capacitancia mediante las barras deslizables rotuladas Resistance y Capacitance entre los rangos comprendidos entre \(1\,\Omega\) - \(5\,\Omega\) y \(1\,\text{F}\) - \(5\,\text{F}\) respectivamente. La interfaz muestra en una misma gráfica los valores de los volatajes en el resistor (curva roja) y capacitor (curva azul) en función del tiempo. Al presionar los botones Battery in the circuit y Battery removed en cualquier momento el capacitor se carga y descarga sin importar la carga del capacitor. Al presionar el botón Reset, el proceso de carga se reinicia. El movimiento de los electrones de los conductores del circuito se observa al presionar el botón Actual charge flow y el de la corriente al presionar el botón Conventional current.

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Figura 16.6 Interfaz gráfica del usuario.

Mediciones y procedimientos

Carga del capacitor

  1. Fije los valores de \(R\) y \(C\) de modo que \(R=1\,\Omega\) y \(C=2\,\text{F}\). A partir de las dos curvas de voltaje en función del tiempo verifique que el tiempo que transcurre para que el voltaje en el capacitor alcance al 63% del voltaje máximo y el voltaje en el resistor se reduzca el 37% de su valor inicial es \(\tau=RC\). Obsérvese que \(V_c\propto q\) y \(V_R\propto i\).

  2. Repita el procedimiento anterior para otros valores de \(R\) y \(C\) que usted fije de manera arbitraria. ¿Qué se puede concluir?

  3. Fije los valores de \(R\) y \(C\) con valores que usted desee. A partir de las dos curvas de voltaje en función del tiempo verifique que los instantes de tiempo para los cuales los voltajes en el capacitor y el resistor son iguales, ocurre para el instante de tiempo \(t=\tau \ln(2)=RC\ln(2)\).

  4. En el proceso de carga del capacitor, ¿por qué razón se considera que para un tiempo igual a \(5RC\) el capacitor ya se encuentra completamente cargado?

Descarga del capacitor

  1. Fije los valores de \(R\) y \(C\) de modo que \(R=1\,\Omega\) y \(C=1\,\text{F}\). Espere a que el capacitor se cargue al 100%. Descárguelo y a partir de las dos curvas de voltaje en función del tiempo verifique que el tiempo que transcurre para que los voltajes en el capacitor y resistor se reduzcan al 37% de valores iniciales es \(\tau=RC\).

  2. Repita el procedimiento anterior para otros valores de \(R\) y \(C\) que usted fije de manera arbitraria. ¿Qué se puede concluir?

  3. ¿Por qué razón, los signos de los voltajes en el capacitor y resistor son siempre opuestos?

  4. De las expresiones para carga y descarga del capacitor, demuestre que la rapidez con la cual el capacitor se carga es la misma rapidez con la cual se descarga. Verifique la anterior proposición con el simulador.

Carga-Descarga del capacitor

  1. Fije los valores de \(R\) y \(C\) de modo que \(R=1\,\Omega\) y \(C=1\,\text{F}\). Aplique una señal de voltaje periódica cuadrada tal como muestra la Figura 16.7, para ello utilice los botones Battery in the circuit, Step: \(>>\) Battery removed alternadamente; demuestre que las curvas de voltaje en el capacitor y resistor son como las mostradas en la Figura 16.8.

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    Figura 16.7 Señal periódica aplicada al capacitor inicialmente descargado

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    Figura 16.8 Carga-descarga del capacitor

  2. En un circuito RC, las señales de voltaje en el capacitor y resistor son como las mostradas en la Figura 16.9, si el capacitor se encontraba inicialmente descargado, dibuje la señal aproximada que fue aplicada al sistema RC en el diagrama de la Figura 16.10.

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    Figura 16.9 Voltajes en \(R\) y \(C\) en función del tiempo.

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    Figura 16.10 Señal aplicada al circuito RC cuyas curvas de voltaje en \(C\) y \(R\) se muestran en la Figura 16.9.

  3. Realice una gráfica de energía almacenada en el capacitor en función del tiempo para la situación descrita en el inciso 2.

  4. Realice una gráfica de energía disipada en el resistor en función del tiempo para la situación descrita en el inciso 2.