21. +Momento de inercia de un disco

Objetivo

El propósito de esta práctica es doble:

  1. Determinar experimentalmente el valor del momento de inercia \(I\) de un disco homogéneo con respecto a un eje perpendicular a su superficie y que pasa por su centro.

  2. Hallar el valor del torque \(\tau\) ejercido por la fuerza de rozamiento sobre el eje. Para ello, se enrolla un hilo muy delgado sobre el disco, de cuyo otro extremo pende un cuerpo; al descender éste último el disco gira y se mide su aceleración tangencial en función del peso del cuerpo que pende. A partir de estas mediciones y junto con el modelo dinámico propuesto se determinan los valores de \(I\) y \(\tau\).

Recursos

  1. Un disco de acrílico transparente.

  2. Un juego de pesas.

  3. Un trozo de hilo de coser.

  4. Una balanza.

  5. Un fotointerruptor conectado al computador mediante una interfase para la medición de tiempos.

  6. Una regla graduada en mm.

  7. Un pedazo de cinta para asegurar el hilo al disco.

Resumen teórico

La segunda ley de Newton aplicada a la rotación de un sólido establece que la tasa de cambio de la cantidad de movimiento angular de un sistema es igual al momento de fuerza o torque neto \(\overrightarrow{\tau}\) que actúa sobre el sistema. Explicitamente, \(\overrightarrow{\tau}=\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}\), donde \(\overrightarrow{L}\) es la cantidad de movimiento angular sistema. Si \(\overrightarrow{L}\) y \(\overrightarrow{\omega}\) son paralelos, es decir, \(\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega}\), siendo \(I\) el momento de inercia se tiene \(\overrightarrow{\tau}=\frac{d(I\overrightarrow{\omega}% )}{dt}=I\overrightarrow{\alpha}\), donde \(\overrightarrow{\alpha}=\frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}\) es la aceleración angular del sistema. En otras palabras la aceleración angular del sistema es proporcional al momento de fuerza o torque neto aplicada al mismo.

Descripción del problema

Consideremos el sistema mostrado en la Figura 21.1. Supongamos que el sistema está en movimiento. La Figura 21.2 muestra las fuerzas que actúan sobre la polea y la masa el cuerpo colgante. Al aplicar la segunda ley de Newton al cuerpo de masa \(m\) resulta

(21.1)\[\begin{equation} mg-T=ma \end{equation}\]

Figura 21.1 Sistema compuesto por un disco de masa \(m\) y un cuerpo de masa \(m\) que pende de un hilo delgado.

Figura 21.2 Fuerzas sobre la polea (no se muestra la fuerza de rozamiento), y el cuerpo colgante de masa \(m\).

donde \(a\) representa la aceleración con la cuel desciende el cuerpo. Similarmente, aplicando la segunda ley de Newton a la polea que rota resulta

(21.2)\[\begin{equation} TR-\tau=I\alpha =I\frac{a}{R} \end{equation}\]

donde los torques se han medido con respecto al punto \(o\), \(I\) es el momento de inercia de la polea, \(\alpha\) su aceleración angular y \(\tau\) es el torque ejercido por la fuerza de rozamiento. El peso de la polea \(mg\) y la fuerza \(f\) que ejerce su eje no producen torque. La relación entre la aceleración lineal \(a\) y angular \(\alpha\) es dada por la expresión \(a=\alpha R\). De las expresiones (21.1) y (21.2) se obtiene

(21.3)\[\begin{equation} m(g-a)R=\frac{I}{R}a+\tau \end{equation}\]

La ecuación (21.3) de puede reescribir de modo que tome la forma de la ecuación de una línea recta \(Y=nX+b\), con pendiente \(n\) y punto de corte con el eje \(y\) igual a \(b\), ver Figura 21.3. Así si,

Figura 21.3 Relación lineal entre las variables \(Y\) y \(X\).

(21.4)\[\begin{equation} Y=IX+\tau \end{equation}\]

donde \(Y=m(g-a)R\), \(X=\frac{a}{R}\) y

(21.5)\[\begin{equation} n=I \end{equation}\]
(21.6)\[\begin{equation} b=\tau \end{equation}\]

Mediciones

Para la determinación del momento de inercia del disco y el torque debido a la fricción se utilizará el equipo mostrado en la Figura 21.4. Este montaje consta de una disco que puede girar sobre un eje horizontal, un juego de pesas pequeñas de valores aproximadamente iguales a 5 g, 7 g, 9 g, 11 g, 13 g, 15 g, 17 g, 19 g, 21 g, 25 g 1; y un fotosensor. El disco posee una pequeña canal en su periferia sobre la cual se puede enrollar un hilo muy delgado.

Figura 21.4 Montaje experimental usado para determinar \(I\) y \(\tau\)

El fotosensor contiene un infrarrojo el cual es interrumpido por las franjas oscuras dispuestas de manera radial e igualmente espaciadas sobre la superficie del disco, ver Figura 21.5. El haz infrarrojo al ser interrupido, el hardware procesa una señal eléctrica y envía al computador información que el software CHRONOS 2 utiliza para el cálculo de la rapidez de un punto del disco.

Para cada de las masas suministradas determine el valor de su aceleración de descenso. Para ello, enrolle el hilo dos o tres vueltas sobre la periferia del disco y por el otro extremo del hilo suspenda una de las masas. Deje que la masa descienda y mida el valor de la rapidez media \(\overline{v}\) de los puntos del disco que ese encuentran a una distancia \(r_2=45\,\text{mm}\) del centro del disco como función del tiempo mediante el uso de CHRONOS operando en modo 2. Complete las tablas de datos Tabla 21.1, Tabla 21.2, Tabla 21.3, Tabla 21.4 y Tabla 21.5. De la gráfica de \(\overline{v}\) en función del tiempo determine la aceleración \(a'\) de estos puntos. Note que el valor de la aceleración \(a\) de los puntos de la periferia del disco (igual a la aceleración del cuerpo que pende) está relacionada con \(a'\) mediante la expresión

(21.7)\[\begin{equation} a=\frac{R}{r_2}=\frac{55\,\text{mm}}{45\,\text{mm}}a'=\frac{11}{9}a' \end{equation}\]

Con la información extraída de las tablas de datos Tabla 21.1, Tabla 21.2, Tabla 21.3, Tabla 21.4, Tabla 21.5 y la ecuación (21.7) complete la tabla Tabla 21.6.

Ahora que se tienen los valores de aceleración para cada una de las masas complete la Tabla 21.7 y construya la gráfica de \(Y\) como función de \(X\). De la gráfica obtenida y a partir de las ecuaciones (21.5) y (21.6) determine los valores de \(I\) y \(\tau\) .

Compare el valor de \(I\) obtenido de manera indirecta via experimento con el valor teórico calculado a través de la expresión \(I=\frac{1}{2}mR^{2}\) con \(m=0.106\,\text{kg}\) y \(R=55\times10^{-3}\,\text{m}\), es decir, \(I=1.6\times10^{-4}\,\text{kgm}^{2}\) Discuta sus resultados.

Figura 21.5 Diagrama del disco con sus dimensiones relevantes.

Tabla 21.1 Datos para determinar \(a_1\) y \(a_2\) para \(m_1=_{........}\) kg y \(m_2=_{........}\) kg

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v} \,(\text{m/s})\)

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v}\,(\text{m/s})\)

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Tabla 21.2 Datos para determinar \(a_3\) y \(a_4\) para \(m_3=_{........}\) kg y \(m_4=_{........}\) kg

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v} \,(\text{m/s})\)

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v}\,(\text{m/s})\)

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Tabla 21.3 Datos para determinar \(a_5\) y \(a_6\) para \(m_5=_{........}\) kg y \(m_6=_{........}\) kg

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v} \,(\text{m/s})\)

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v}\,(\text{m/s})\)

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Tabla 21.4 Datos para determinar \(a_7\) y \(a_8\) para \(m_7=_{........}\) kg y \(m_8=_{........}\) kg

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v} \,(\text{m/s})\)

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v}\,(\text{m/s})\)

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Tabla 21.5 Datos para determinar \(a_9\) y \(a_{10}\) para \(m_9=_{........}\) kg y \(m_{10}=_{........}\) kg

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v} \,(\text{m/s})\)

\(t \text{(ms)}\)

\(\Delta t \,(\text{ms})\)

\(\overline{v}\,(\text{m/s})\)

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Tabla 21.6 Aceleraciones \(a_1.....a_{10}\) de las masas colgantes \(m_1.....m_{10}\) respectivamente

\(m \,\text{(kg)}\)

\(a \,(\text{m/s}^{2})\)

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Tabla 21.7 Datos para la contrucción de la gráfica de \(Y\) en función de \(X\).

\(Y=m(g-a)R\,\,\text{(J)}\)

\(X\,\,(\text{s}^{-2})\)

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1

Confirme los valores de las masas con la balanza suministrada y haga las correcciones pertinentes.

2

CHRONOS se encuentra instalado en el computador de cada mesa de trabajo. Usted puede medir el valor de la aceleración de la misma manera que lo hizo cuando realizó las prácticas de la medición de la gravedad y leyes de Newton.