9. +Pulsaciones en ondas sonoras

Objetivo

El propósito de esta práctica es estudiar las pulsaciones (o batidos) generados cuando se superponen dos ondas sonoras audibles.

Recursos

1. Un computador con tarjeta de sonido y parlantes; y acceso a la internet.

2. Simulación disponible en https://www.compadre.org/osp/EJSS/4370/203.htm.

Resumen teórico

Consideremos las ondas senoidales descritas por las expresiones (9.12) y (9.13), las cuales tienen igual amplitud \(\varepsilon _{0}\), frecuencias muy similares \(f_{A}\) , \(f_{B}\) y que viajan a lo largo del eje \(x\).

(9.12)\[\begin{equation} \varepsilon _{1}(x,t)=\varepsilon _{0}\sin (k_{1}x-\omega _{1}t+\phi _{1}) \end{equation}\]

(9.13)\[\begin{equation} \varepsilon _{2}(x,t)=\varepsilon _{0}\sin (k_{2}x-\omega _{2}t+\phi _{2}) \end{equation}\]

\(\phi _{1}\) y \(\phi _{2}\) representan las fases que se mantienen constantes en el tiempo. La velocidad de propagación de estas ondas es

(9.14)\[\begin{equation} v=\frac{\omega _{1}}{k_{1}}=\frac{2\pi f_{A}}{k_{1}}=\frac{\omega _{2}}{k_{2}}=\frac{2\pi f_{B}}{k_{1}} \end{equation}\]

La superposición de \(\varepsilon _{1}(x,t)\) y \(\varepsilon _{2}(x,t)\) es \(\varepsilon (x,t)=\varepsilon _{1}(x,t)+\varepsilon _{2}(x,t)\) ó

(9.15)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \varepsilon (x,t)=-2\varepsilon _{0}\cos \left[ \pi (f_{A}-f_{B})t-\frac{\pi }{v}(f_{A}-f_{B})x-\Phi _{1}\right] \\ \times \sin \left[ \pi (f_{A}+f_{B})t-\frac{\pi }{v} (f_{A}+f_{B})x-\Phi _{2}\right] \end{split} \end{equation}\end{split}\]

donde hemos definido \(\Phi _{1}=\frac{\phi _{1}+\phi _{2}}{2}\) y \(\Phi _{2}=\frac{\phi _{1}-\phi _{2}}{2}.\)

Los periodos de los términos cosenoidal y senoidal son \(T_c=\frac{2\pi}{f_A-f_B}\) y \(T_s=\frac{2\pi}{f_A+f_B}\) respectivamente, con \(T_c>T_s\). Así, el término cosenoidal oscila más lentamente en el tiempo que el termino senoidal y por tanto podemos considerarlo como el factor modulante del termino senoidal y tomarlo como la amplitud. La ecuación (9.15) puede interpretarse como una oscilación armónica de frecuencia \(\frac{% f_{A}+f_{B}}{2}\) y con amplitud varía armónicamente en cada punto en el tiempo con frecuencia \(\frac{f_{A}-f_{B}}{2}\).

La intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud y por tanto la intensidad de la onda descrita por la expresión (9.15) es

(9.16)\[\begin{equation} I(t,x)=4I_{0}\cos ^{2}\left[ \pi (f_{A}-f_{B})t-\frac{\pi }{v}(f_{A}-f_{B})x-\Phi _{1}\right] \end{equation}\]

donde \(I_{0}\sim \varepsilon _{0}^{2}\) . Ahora bien, si nos ubicamos en un punto particular del espacio \(x=x_{0}\), entonces la expresión (9.16) se convierte en

(9.17)\[\begin{split}\begin{eqnarray} I(t,x_{0}) &=&4I_{0}\cos ^{2}\left[ \pi (f_{A}-f_{B})t-\frac{\pi }{v}(f_{A}-f_{B})x_{0}-\Phi _{1}\right] \nonumber \\ &=&4I_{0}\cos ^{2}\left[ \pi (f_{A}-f_{B})t-\Psi \right] \end{eqnarray}\end{split}\]

donde \(\Psi =\frac{\pi }{v}(f_{A}-f_{B})x_{0}+\Phi _{1}=\) oscila entre cero y \(4I_{0}\) con una frecuencia \(f_b\) llamada frecuencia de batidos igual a

(9.18)\[\begin{equation}\label{Ec:Beats_7} f_b=|f_A-f_B| \end{equation}\]

La Figura 9.10 muestra la gráfica de la variación de la intensidad de la señal resultante en función del tiempo.

Figura 9.10 Intensidad relativa (\(\frac{I}{I_0}\)) de la superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencias \(f_A\) y \(f_B\) que se propagan en la misma dirección, en un punto \(x_0\) en función del tiempo

Descripción de la interfaz de la aplicación

Para la generación de las señales sonoras utilizaremos la aplicación cuyo enlace se cita arriba en la sección de Recursos y cuya interfaz se muestra en la Figura 9.11.

Figura 9.11 Interfaz gráfica del usuario para estudiar las pulsaciones o batidos

La aplicación permite seleccionar las frecuencias \(f_A\) y \(f_B\) de las dos ondas armónicas en el rango de 0 a 1000 Hz. Para ello simplemente digite sus valores en cada una de las casillas de entrada ubicadas en la parte superior de la consola. La amplitud \(\varepsilon_0\) de las ondas se fija mediante la barra deslizante rotulada textbf{balance} ubicada en la parte inferior izquierda de la consola. La diferencia de fase entre las ondas se fija mediante la barra deslizante rotulada textbf{delay} ubicada en la parte inferior derecha de la consola. La escala horizontal del tiempo se fija con el menú desplegable rotulado textbf{scope \(\Delta t\)} ubicado en la parte inferior central de la consola. La forma de las ondas y su resultante (suma) se pueden observar en la gráfica de amplitud en función del tiempo al seleccionar las opciones \(f_A\) , \(f_B\) y sum. Las ondas de frecuencias \(f_A\) y \(f_B\) se muestran en color rojo y verde respectivamente mientras que la onda resultante se muestra en color azul.

Mediciones y procedimientos

1. Configure el sistema tal como se muestra en la Figura 9.12. Presione el icono de sonido para escuchar las pulsaciones sonoras. Analice los casos para las frecuencias que se indican en la Tabla 9.1.

   

   Figura 9.12 Configuración para estudiar las pulsaciones o batidos

2. Mida la frecuencia de las pulsaciones que escucha en cada caso (recuerde que \(f=\frac{1}{T}\)) y compárelas con las que predice la ecuación (9.18). ¿Qué relación existe entre la curva de la señal resultante mostrada en la aplicación con la gráfica mostrada en la Figura 9.10 ? Reporte el resultado de sus discusiones.

Tabla 9.1 Datos para determinar la frecuencia de las pulsaciones

\(f_{A}\) (Hz)	\(f_{B}\) (Hz)
300	300.1
400	400.3
400	400.1
400	401.0
800	800.1
800	800.05

1. Si la superposición de ondas con frecuencias similares se realizara con ondas electromagnéticas pertenecientes al espectro visible, ¿qué se observaría? ¿qué posible aplicación tendría la situación planteada?

2. Discuta sus resultados y escriba sus conclusiones.