19. +Conservación de la energía Mecánica¶
Objetivo
El propósito de esta práctica determinar el valor de la aceleración de la gravedad \(g\) a partir del principio de conservación de la energía mecánica. Para ello, se utiliza un péndulo cuya masa se suelta desde diferentes alturas \(H\) medidas desde los puntos de supensión de las cuerdas y se mide la correspondiente rapidez \(v\) de la masa en su punto mas bajo. A partir de las mediciones de \(v\) y \(H\) y la conservación de la energía se determina \(g\).
Recursos
Una esfera metálica con ojal de diámetro menor que 1 cm.
Dos cuerdas delgadas.
Un fotointerruptor con interfase conectada al computador.
Una regla graduada en mm.
Un transportador.
Resumen teórico
El trabajo realizado por una fuerza \(\overrightarrow{F}\) para llevar una partícula de un punto \(A\) a un punto \(B\) se define como
donde la integral que aparece en la expresión (19.1) es una integral especial denominada integral de línea ya que ésta se realiza sobre una trayectoria y en general su valor depende de la trayectoria o camino que conecta los puntos \(A\) y \(B\).
El teorema del trabajo y energía afirma que si como resultado de aplicar \(N\) fuerzas \(\overrightarrow{F}_{1},\overrightarrow{F}_{2},\ldots \overrightarrow{F}_{N}\) a un sistema, su energía cinética cambia de \(E_{k_A}\) a \(E_{k_B}\), entonces el trabajo neto \(W\) hecho por estas fuerzas es igual al cambio en la energía cinética \(\Delta E_{k}\) del sistema, es decir
Este teorema es de gran validez y la naturaleza de las fuerzas no importa; es decir, que las fuerzas pueden ser de origen mecánico, eléctrico, magnético, gravitacional, etc y el teorema aplica. Por otra parte, cuando una fuerza \(\overrightarrow{F}\) es conservativa entonces la fuerza tiene asociada una energía potencial \(U\), la cual es una función escalar y en este caso el trabajo hecho por \(\overrightarrow{F}\) es dado por \(W=\int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=U_{A}-U_{B}\). La ventaja de una fuerza conservativa es que su trabajo \(W\) se calcula directamente como la diferencia de energía \(U\) entre los puntos \(A\) y \(B\); y por tanto no es necesario calcular la integral dada por la expresión (19.1). Así, si la única fuerza que actúa sobre el sistema es \(\overrightarrow{F}\) y es conservativa, entonces la expresión (19.2) se transforma en
o
La expresión (19.4) no es mas que la conservación de la energía mecánica.
Descripción del problema
Consideremos el sistema mostrado en la Figura 19.1, el cual consiste de cuerpo de masa \(m\) suspendido de dos cuerdas iguales y de longitud \(L\) de los puntos \(o\) y \(o'\). Al usar la conservación de la energía entre los puntos \(A\) y \(B\) al cuerpo de masa \(m\) resulta
Figura 19.1 Cuerpo suspendido de dos cuerdas ligeras e inextensibles de igual longitud \(L\). Izquierda (vista frontal): el cuerpo se encuentra en su posición de equilibrio. Derecha (vista lateral): La masa se desplaza de su posición de equilibrio un ángulo \(\theta\) (punto A) y se libera, llegando a su punto más bajo (punto \(B\)) con rapidez \(v\).¶
donde \(-mgH\) y \(-mgL\cos\alpha\) corresponden a las energías potencial gravitacional en los puntos \(A\) y \(B\) respectivamente y el segundo término de la derecha corresponde a la energía cinética del cuerpo en su punto más bajo (punto \(B\)). Hemos definido energía potencial cero desde un nivel de referencia que pasa por la línea que une los puntos \(o\) y \(o'\). La expresión (19.5) se puede reescribir como
donde el rango de la variable \(H\) es \(0\leq H \leq L\cos\alpha\). Obsérvese que la relación entre \(v^{2}\) y \(H\) es lineal y que el valor de la pendiente viene dado por \(p = -2g\) (ver Figura 19.2). Así, al variar \(\theta\) y por tanto \(H\) estamos variando el valor \(v\) del cuerpo en el punto \(B\).
Figura 19.2 Gráfica de \(v^2\) como función de \(H\) para el sistema mostrado en la Figura 19.1.¶
Mediciones
El valor de la velocidad del cuerpo en en el punto \(B\) se determina con la ayuda del fotointerruptor operando en el Modo 2 y una pequeña placa opaca rectangular de masa despreciable, ancho \(\Delta D\) y longitud \(\ell\) pegada al cuerpo de masa \(m\) en su parte inferior, la cual bloquea el fotointerruptor. En el Modo 2, el fotointerruptor conectado al computador permite medir los intervalos de tiempo \(\Delta t\) para los cuales el fotointerruptor permanece bloqueado. Así, la velocidad \(v\) de la masa en el punto \(B\) es \(v=\frac{\Delta D}{\Delta t}\big( 1- \frac{\ell}{L\cos \alpha}\big)\) 1. Complete la tabla de datos Tabla 19.1. A partir de los datos, construya la gráfica de \(v^{2}\) como función de \(H\). De la pendiente \(p\) de la recta obtenida determine \(g\) como se indica arriba. Aplique la teoría de errores apropiada para expresar el valor de \(g\) junto con la correspondiente incertitumbre.
\(H \, (\text{cm})\) |
\(\Delta t(ms)\) |
|---|---|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
\(\vdots\) |
|
\(L\cos\alpha\) |
Análisis y Preguntas
En el método descrito arriba para determinar la velocidad del cuerpo de masa \(m\), no se tuvo en cuenta el tamaño de la esfera, es decir, su radio \(R\). Realice un análisis cuantitativo y detallado de como el tamaño de la esfera altera el valor del cálculo de su velocidad.
- 1
Para cuaquier valor de \(\theta\) se cumple que la rapidez \(v\) de \(m\) y la rapidez \(v_{\ell}=\frac{\Delta D}{\Delta t}\) del extremo inferior de la placa de longitud \(\ell\) están dadas por \(v=\omega L\cos \alpha\) y \(v_{\ell}=\omega (L\cos \alpha+\ell)\), donde \(\omega\) es la velocidad angular. De estas dos expresiones se encuentra que \(v=\frac{\frac{\Delta D}{\Delta t}}{1+\frac{\ell}{L\cos\alpha}}\approx \frac{\Delta D}{\Delta t}\big(1-\frac{\ell}{L\cos\alpha}\big)\). Hemos hecho uso de la aproximación \((1+x)^n \approx 1+x\), la cual es válida para \(x<<1\).
