Tiempo de vaciado de un recipiente ==================================== **Objetivo** Esta actividad tiene como finalidad estudiar de manera cuantitativa la forma en que los factores geométricos de un recipiente que contiene agua determinan el tiempo de vaciado del mismo. **Recursos** #. Computador o tablet o cualquier otro dispositivo con conexión a internet. #. Simulación disponible en `https://www.geogebra.org/m/zyv5evad `_. **Situación** Cuando se tiene un recipiente cilíndrico con un líquido, :numref:`Figure 7`, al cual previamente le hemos practicado un orificio en el fondo y permitimos que el líquido salga por este orificio, el nivel del líquido en el recipiente desciende a medida que pasa el tiempo y eventualmente se hace cero. Cuanto tiempo gasta el recipiente en desocuparse completamente depende de ciertos factores como son el radio :math:`R` del recipiente, la altura :math:`H_0` inicial del nivel del líquido en el recipiente, el radio :math:`r` del orifico y la naturaleza del líquido. Esta actividad tiene como finalidad encontrar la relación matemática que existe entre el tiempo :math:`T` de vaciado de un recipiente cilíndrico que contiene agua con :math:`r`, :math:`H_0` y :math:`R`. Asumiremos que la relación entre :math:`T`, :math:`r`, :math:`R ` y :math:`H_0` es de la forma :math:`T=AR^{m}r^{n}H_0^{p}`, donde :math:`A`, :math:`m`, :math:`n` y :math:`p` son números reales. Así, el objetivo es determinar los valores de :math:`m`, :math:`n`, :math:`p` y :math:`A`. .. figure:: /images/Mecanica/Discharging_Tank/Discharging_tank_01.jpg :alt: Discharging :scale: 40% :align: center :name: Figure 7 Recipiente cilíndrico con orificio en el fondo **Descripción de la interfaz de la aplicación** La :numref:`Figure 8` muestra la interfaz gráfica del usuario que permite estudiar la dependencia del tiempo :math:`T` de vaciado de un recipiente cilíndrico que contiene agua, de la altura del nivel inicial :math:`H_0` de agua, del radio :math:`R` del recipiente y el radio :math:`r` del orificio por donde se evacua el agua. La interfaz permite establecer los valores de estas cantidades mediante las barras de desplazamiento rotuladas *Initial height*, *Tank radius* y *Hole* radius respectivamente. Una vez seleccionados los valores de estas cantidades, el usuario puede llenar el tanque al presionar el botón *Fill* y medir el tiempo de descarga del recipiente al presionar el botón *Empty*. A medida que el tanque se descarga aparece la señal *Discharging tank* y una vez completado el proceso aparece la señal *Empty tank*. Ahora se está listo para hacer cambios en los parámetros y tomar medidas de nuevo. .. figure:: /images/Mecanica/Discharging_Tank/Gui_Discharging_tank.png :alt: Discharging :scale: 45% :align: center :name: Figure 8 Interfaz del usuario. **Mediciones y procedimientos** **Relación entre** :math:`T` y :math:`H_0` #. Para determinar la relación entre :math:`T` y :math:`H_0` mantenga :math:`r` y :math:`R` fijos. Se sugiere por ejemplo tomar :math:`r=0.2\,\text{cm}` y :math:`R=3,0\,\text{cm}`. Realice la toma de datos y para ello complete la Tabla :numref:`Discharg_T_v_H` .. csv-table:: Relación entre :math:`T` y :math:`H_0` :header: "Tiempo :math:`T` (s)", "Altura :math:`H_0` (cm)" :widths: 1,1 :width: 10 cm :name: Discharg_T_v_H :align: center :stub-columns: 0 :header-rows: 0 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0, #. Realice una gráfica de :math:`T` en función de :math:`H_0`. #. Haga uso de sus conocimientos de linealización de una función para encontrar una ecuación matemática que relaciona las variables :math:`T` y :math:`H_0`. Determine el valor de :math:`p`. **Relación entre** :math:`T` y :math:`r` #. Para determinar la relación entre :math:`T` y :math:`r` mantenga :math:`H_0` y :math:`R` fijos. Se sugiere por ejemplo tomar :math:`H_0=6.0\,\text{cm}` y :math:`R=3.0\,\text{cm}` . Realice la toma de datos y para ello complete la Tabla :numref:`Discharg_T_v_r` .. csv-table:: Relación entre :math:`T` y :math:`r` :header: "Tiempo :math:`T` (s)", "Altura :math:`r` (cm)" :widths: 1,1 :width: 10 cm :name: Discharg_T_v_r :align: center 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, #. Realice una gráfica de :math:`T` en función de :math:`r`. #. Haga uso de sus conocimientos de linealización de una función para encontrar una ecuación matemática que relaciona las variables :math:`T` y :math:`r`. Determine el valor de :math:`n`. **Relación entre** :math:`T` y :math:`R` #. Para determinar la relación entre :math:`T` y :math:`R` mantenga :math:`r` y :math:`H_0` fijos. Se sugiere por ejemplo tomar :math:`r=0.2\,\text{cm}` y :math:`H=5.0\,\text{cm}`. Realice la toma de datos y para ello complete la Tabla :numref:`Discharg_TvR` .. csv-table:: Relación entre :math:`T` y :math:`R` :header: "Tiempo :math:`T` (s)", "Radio :math:`R` (cm)" :widths: 1,1 :width: 10 cm :name: Discharg_TvR :align: center 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0, #. Realice una gráfica de :math:`T` en función de :math:`R`. #. Haga uso de sus conocimientos de linealización de una función para encontrar una ecuación matemática que relaciona las variables :math:`T` y :math:`R`. Determine el valor de :math:`m`. **Análisis y preguntas** #. Determine el valor de la constante :math:`A` propuesto en el modelo :math:`T=AR^{m}r^{n}H_0^{p}`, y explique detalladamente el procedimiento que conduce a la determinación de su valor. #. Use la relación matemática encontrada para calcular el tiempo de vaciado de un recipiente con :math:`R=5.0\,\text{cm}`, :math:`r=0.5\,\text{cm}` y :math:`H_0=10\,\text{cm}`. Compare el valor obtenido con el tiempo 14.29 s, el cual es el valor que predice la simulación. #. Establezca las posibles limitaciones del fenómeno estudiado en la simulación. #. ¿Qué sucede con el tiempo de vaciado del recipiente si el radio del orificio se duplica? #. ¿Qué sucede con el tiempo de vaciado del recipiente si el radio del recipiente se triplica? #. ¿Qué sucede con el tiempo de vaciado del recipiente si la altura inicial del agua en el recipiente se reduce a la mitad?