Teorema de Fourier =================== **Objetivo** El propósito de esta práctica es entender y aprender como mediante la superposición de ondas elementales armónicas de diferentes frecuencias y pesos es posible construir una onda periódica de cualquier perfil. **Recursos** #. Computador o tablet con acceso a la Internet #. Simulación disponible en `https://kforinas.pages.iu.edu/WJS/SuperpositionJS.html `_. **Resumen teórico** Teorema de Fourier: toda función periódica (espacial o temporal) de período :math:`\lambda` puede escribirse como la suma de funciones seno y coseno, de amplitudes y fases adecuadas. Así, para la función :math:`f(x)` mostrada en la :numref:`fig:Fourier_01`, de periodo :math:`\lambda`, de acuerdo al teorema de Fourier: .. figure:: /images/Oscilaciones_Termo/Fourier/Fourier_01.png :scale: 80 :align: center :name: fig:Fourier_01 Función periódica .. math:: :label: Ec:fourier_01 \begin{equation}\label{Ec:fourier_01} f(x)=a_0+\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\cos\frac{2\pi n}{\lambda}x+b_n\sin\frac{2\pi n}{\lambda}x) \end{equation} donde .. math:: :label: Ec:fourier_02a \begin{equation} a_0 = \frac{1}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}f(x)dx \end{equation} .. math:: :label: Ec:fourier_02b \begin{equation} a_n = \frac{2}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}f(x)\cos(\frac{2\pi nx}{\lambda})dx \end{equation} .. math:: :label: Ec:fourier_02c \begin{equation} b_n = \frac{2}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}f(x)\sin(\frac{2\pi nx}{\lambda})dx \end{equation} Obsérvese que los periodos de las funciones :math:`\cos(\frac{2\pi nx}{\lambda})` y :math:`\sin(\frac{2\pi nx}{\lambda})` son iguales y sus valores son :math:`\frac{2\pi}{\frac{2\pi n}{\lambda}}=\frac{\lambda}{n}`. Así, la función :math:`f(x)` es la suma de funciones seno y coseno de periodos :math:`\lambda, \frac{\lambda}{2},\frac{\lambda}{3}...` y los pesos o contribuciones de estas funciones son determinados por los coeficientes :math:`a_n` y :math:`b_n`. A modo de ejemplo, la función periódica de la :numref:`fig:Fourier_square_wave` tiene periodo :math:`\lambda=4.0\,\text{cm}` y altura :math:`k`. De las ecuaciones :eq:`Ec:fourier_02a`, :eq:`Ec:fourier_02b` y :eq:`Ec:fourier_02c` resulta: .. figure:: /images/Oscilaciones_Termo/Fourier/square_wave.png :scale: 60 :align: center :name: fig:Fourier_square_wave Función periódica .. math:: :label: Ec:fourier_03a \begin{equation} a_0 =\frac{k}{2} \end{equation} .. math:: :label: Ec:fourier_03b \begin{equation} a_n =\frac{2k}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2} \end{equation} .. math:: :label: Ec:fourier_03c \begin{equation} b_n =0 \end{equation} De donde :math:`a_n=0` cuando :math:`n` es par, :math:`a_n=\frac{2k}{n\pi}` cuando :math:`n=1,5,9,...` y :math:`a_n=-\frac{2k}{n\pi}` cuando :math:`n=3,7,11,...`. De aquí que el resultado final es: .. math:: :label: Ec:fourier_04 \begin{equation} f(x)=\frac{k}{2}+\frac{2k}{\pi}\left(\cos\frac{\pi}{2}x-\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{2}x+\frac{1}{5}\cos\frac{5\pi}{2}x-\frac{1}{7}\cos\frac{7\pi}{2}x+\ldots\right) \end{equation} Nótese que la función :math:`f(x)` queda escrita solamente en términos de funciones coseno, no hay términos tipo seno. Nota: :math:`\cos\frac{\pi}{2}x` significa :math:`\cos(\frac{\pi}{2}x)` e igual para el resto de términos. **Construcción de una onda** La función periódica descrita por la ecuación :eq:`Ec:fourier_04` es una función de la variable :math:`x` y tiene perfil igual al mostrado en la :numref:`fig:Fourier_square_wave`. Construyamos ahora una onda viajera que tenga este mismo perfil. Para ello, hacemos el cambio de variable :math:`x\rightarrow x-vt` en la ecuación :eq:`Ec:fourier_04` y *voila*! tenemos una onda propagándose a lo largo del eje :math:`x` con velocidad :math:`v`. La onda resultante es representada por la ecuación: .. math:: :label: Ec:fourier_05 \begin{equation} \begin{aligned} F(x,t) = \frac{k}{2}+\frac{2k}{\pi}\left(\cos\frac{\pi}{2}(x-vt) \\ -\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{2}(x-vt)+\frac{1}{5}\cos\frac{5\pi}{2}(x-vt)\\ -\frac{1}{7}\cos\frac{7\pi}{2}(x-vt)+\ldots\right) \end{aligned} \end{equation} **Descripción de interfaz de la aplicación** La :numref:`fig:Fourier_gui_01` muestra la interfaz gráfica del usuario, que permite ver la propagación de las ondas cuyas ecuaciones escribamos en los campos ubicados en la parte superior de la interfaz y que dicen :math:`f(x,t)` y :math:`g(x,t)`. A modo de ejemplo, hemos escrito :math:`f(x,t)=2.0\sin(x-t)` y :math:`g(x,t)=2.0\sin(x+t)` que corresponden a dos ondas armónicas viajeras que se mueven a lo largo del eje :math:`x` en direcciones contrarias (signo :math:`-` hacia la derecha y :math:`+` hacia la izquierda) con igual velocidad (:math:`v=1\,\text{cm/s}`), número de onda :math:`k=1\,\text{rad/cm}`, frecuencia angular :math:`\omega=1\,\text{rad/s}`, longitud de onda :math:`\lambda=\frac{2\pi}{k}=2\pi\,\text{cm}`, frecuencia :math:`f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\,\text{Hz}` y periodo :math:`T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\,\text{s}`. Los tres botones ubicados en la parte inferior de la interfaz permiten ocultar o mostrar las ondas al igual que la resultante (suma) de las ondas :math:`f(x,t)` y :math:`g(x,t)`. Los botones \textbf{play/pause} permiten correr y detener la aplicación. .. figure:: /images/Oscilaciones_Termo/Fourier/Fourier_gui_01.png :scale: 70 :align: center :name: fig:Fourier_gui_01 Interfaz gráfica del usuario **Mediciones y procedimientos** #. Cosidere los tres primeros términos de la expresión :eq:`Ec:fourier_05` con :math:`k=4` y :math:`v=1\,\text{cm/s}`, es decir, .. math:: :label: Ec:fourier_06 \begin{equation} \begin{split} F(x,t)=\frac{4}{2}+\frac{2\times4}{\pi}\left(\cos\frac{\pi}{2}(x-t)-\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{2}(x-t)\right)\\ =2+\frac{8}{\pi}\cos\frac{\pi}{2}(x-t)-\frac{8}{3\pi}\cos\frac{3\pi}{2}(x-t) \end{split} \end{equation} Introduzca estos términos en el simulador. La pregunta es, ¿qué términos escribimos en la casilla :math:`f(x,t)`? y ¿qué términos escribimos en :math:`g(x,t)`? La respuesta es: no importa, pues finalmente lo que estamos calculando es la suma :math:`u(x,t)=f(x,t)+g(x,t)`. Así, a modo de ejemplo podemos hacer :math:`f(x,t)=2+\frac{8}{\pi}\cos\frac{\pi}{2}(x-t)` y :math:`g(x,t)=-\frac{8}{3\pi}\cos\frac{3\pi}{2}(x-t)`. La onda generada resultante (suma) se visualiza en la :numref:`fig:fourier_02`. ¿La forma de la gráfica mostrada en la :numref:`fig:fourier_02` se parece a la mostrada en la :numref:`fig:Fourier_square_wave` ? .. figure:: /images/Oscilaciones_Termo/Fourier/Fourier_02.png :scale: 70 :align: center :name: fig:fourier_02 Perfil de la onda viajera cuando se consideran solamente los 3 primeros términos en la expresión :eq:`Ec:fourier_05` #. Repita el paso anterior pero esta vez considere los 10 primeros términos de la expresión :eq:`Ec:fourier_05`. Responda la misma pregunta del inciso anterior. #. Basado en los resultados anteriores ¿qué puede predecir acerca de la forma de la onda cuando se consideran más y más términos de la expresión :eq:`Ec:fourier_05` ? #. ¿Qué sucede si en la expresión :eq:`Ec:fourier_05` reemplazamos en cada uno de los términos :math:`x-vt` por :math:`x+2t` ? ¡Verifique su respuesta con el simulador! #. ¿Qué sucede si la velocidad de propagación dada por el quinto término en la expresión :eq:`Ec:fourier_05`: :math:`-\frac{8}{3\pi}\cos\frac{3\pi}{2}(x-t)` se reemplaza por :math:`v=1.5\,\text{cm/s}`, es decir, :math:`-\frac{8}{3\pi}\cos\frac{3\pi}{2}(x-1.5t)`? Analice su efecto en el simulador. Escriba sus conclusiones. #. Demuestre en detalle los pasos que conducen a la expresión :eq:`Ec:fourier_04`. #. Suponga ahora que se tienen las siguientes ondas #. .. math:: :label: Ec:fourier_07 \begin{equation} H(x,t)=\frac{4}{\pi}\sin(x-t)+\frac{4}{3\pi}\sin(3(x-t))+\frac{4}{5\pi}\sin(5(x-t))+ \frac{4}{7\pi}\sin(7(x-t))+\ldots \end{equation} ¿Qué forma tiene esta onda?, ¿cuál es su dirección y velocidad de propagación? #. .. math:: :label: Ec:fourier_08 \begin{equation} U(x,t)=\frac{2}{\pi}\sin(x-t)-\frac{2}{2\pi}\sin(2(x-t))+\frac{2}{3\pi}\sin(3(x-t))-\frac{2}{4\pi}\sin(4(x-t))+\ldots \end{equation} ¿Qué forma tiene esta onda?, ¿cuál es su dirección y velocidad de propagación? #. Una onda de radio AM (amplitud modulada) tiene la forma .. math:: :label: Ec:fourier_09 \begin{equation}\label{Ec:fourier_09} K(x,t)=[A+B\sin(2\pi ft)]\times \sin[2\pi f_c(t-\frac{x}{v})] \end{equation} el factor :math:`\sin[2\pi f_c(t-\frac{x}{v})]` se llama la onda transportadora, la cual tiene una frecuencia muy alta :math:`f_c`, llamada la frecuencia de radio y es del orden de 1 MHz. La amplitud de la onda transportadora es :math:`[A+B\sin(2\pi ft)]`, la cual varía con el tiempo de manera armónica (de ahí que se llame amplitud modulada), :math:`f` es del orden de 100 Hz y se llama la frecuencia de audio. Para poder visualizar esta onda en el simulador use los siguientes datos ficticios :math:`A=2`, :math:`B=0.5`, :math:`f=0.1`, :math:`f_c=1.0` y :math:`1.0`. Describa el comportamiento de esta onda de radio a medida que se propaga. Use relaciones trigonométricas para demostrar que :math:`K(x,t)` se puede escribir como la suma de tres ondas de frecuencias :math:`f_c`, :math:`f_c+f` y :math:`f_c-f`, la primera es la onda transportadora y las otras dos son llamadas ondas de banda laterales.