Circuito RC ============ **Objetivo** El propósito de esta práctica es estudiar el proceso de carga y descarga de un capacitor. **Recursos** #. Computador o tablet con acceso a la internet. #. Simulación disponible en `http://physics.bu.edu/~duffy/HTML5/RC_circuit.html `_. **Resumen teórico** **Carga del Capacitor** Consideremos el circuito mostrado en la :numref:`fig:RC_circuit_01`, el cual consta de una fuente de voltaje :math:`\varepsilon`, un resistor de resistencia :math:`R`, un capacitor de capacitancia :math:`C` y un interruptor :math:`S`. Inicialmente, el capacitor tiene una carga :math:`q_0`. Al cerrar :math:`S`, la carga :math:`q` en el capacitor crece en el tiempo :math:`t`. La corriente eléctrica en el circuito es :math:`i=\frac{dq}{dt}`. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al lazo cerrado resulta .. math:: :label: RC1 \begin{equation} \frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}q=\frac{\varepsilon }{R} \end{equation} .. figure:: /images/Electromagnetismo/RC_Circuit/RC_circuit_01.png :scale: 100 :align: center :name: fig:RC_circuit_01 Circuito RC: Carga del capacitor La solución de la ecuación :eq:`RC1` sujeta a la condición inicial :math:`q=q_0` en :math:`t=0` es .. math:: :label: RC2 \begin{equation} q(t)=C\varepsilon -(C\varepsilon-q_0)e^{-\frac{t}{\tau }} \end{equation} donde :math:`\tau =RC` es la constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito. Obsérvese que la carga final del capacitor es :math:`C\varepsilon`, independiente de la carga inicial que tenía en :math:`t=0`. Los voltajes en el capacitor y el resistor son :math:`V_{c}=\frac{q}{C}` y :math:`V_R=Ri` respectivamente. **Descarga del Capacitor** Inicialmente la carga del capacitor es :math:`Q_0`, ver :numref:`fig:RC_circuit_02`. Al cerrar el interruptor :math:`S`, el capacitor se descarga a través del resistor, es decir su carga decrece en el tiempo :math:`t`. La corriente eléctrica en el circuito es :math:`i=-\frac{dq}{dt}`. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al lazo cerrado, resulta .. figure:: /images/Electromagnetismo/RC_Circuit/RC_circuit_02.png :scale: 100 :align: center :name: fig:RC_circuit_02 Circuito RC: descarga del capacitor .. math:: :label: RC3 \begin{equation} \frac{dq}{dt}=-\frac{1}{RC}q \end{equation} La solución de la ecuación :eq:`RC3` sujeta a la condición inicial :math:`q=Q_0 ` en :math:`t=0` es .. math:: :label: RC4 \begin{equation} q(t)=Q_0 e^{-\frac{t}{\tau _{c}}} \end{equation} donde :math:`\tau _{c}=RC` es la constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito. Los voltajes en el capacitor y el resistor son :math:`V_{c}=\frac{q}{C}` y :math:`Ri` respectivamente. **Descripción de la interfaz de la aplicación** La :numref:`fig:RC_gui_01` muestra la interfaz gráfica del usuario, esta permite estudiar los procesos de carga y descarga de un capacitor a través de un resistor. La interfaz permite seleccionar los valores de la resistencia y capacitancia mediante las barras deslizables rotuladas **Resistance** y **Capacitance** entre los rangos comprendidos entre :math:`1\,\Omega` - :math:`5\,\Omega` y :math:`1\,\text{F}` - :math:`5\,\text{F}` respectivamente. La interfaz muestra en una misma gráfica los valores de los volatajes en el resistor (curva roja) y capacitor (curva azul) en función del tiempo. Al presionar los botones **Battery in the circuit** y **Battery removed** en cualquier momento el capacitor se carga y descarga sin importar la carga del capacitor. Al presionar el botón **Reset**, el proceso de carga se reinicia. El movimiento de los electrones de los conductores del circuito se observa al presionar el botón **Actual charge flow** y el de la corriente al presionar el botón **Conventional current**. .. figure:: /images/Electromagnetismo/RC_Circuit/gui_01.png :scale: 65 :align: center :name: fig:RC_gui_01 Interfaz gráfica del usuario. **Mediciones y procedimientos** **Carga del capacitor** #. Fije los valores de :math:`R` y :math:`C` de modo que :math:`R=1\,\Omega` y :math:`C=2\,\text{F}`. A partir de las dos curvas de voltaje en función del tiempo verifique que el tiempo que transcurre para que el voltaje en el capacitor alcance al 63\% del voltaje máximo y el voltaje en el resistor se reduzca el 37\% de su valor inicial es :math:`\tau=RC`. Obsérvese que :math:`V_c\propto q` y :math:`V_R\propto i`. #. Repita el procedimiento anterior para otros valores de :math:`R` y :math:`C` que usted fije de manera arbitraria. ¿Qué se puede concluir? #. Fije los valores de :math:`R` y :math:`C` con valores que usted desee. A partir de las dos curvas de voltaje en función del tiempo verifique que los instantes de tiempo para los cuales los voltajes en el capacitor y el resistor son iguales, ocurre para el instante de tiempo :math:`t=\tau \ln(2)=RC\ln(2)`. #. En el proceso de carga del capacitor, ¿por qué razón se considera que para un tiempo igual a :math:`5RC` el capacitor ya se encuentra completamente cargado? **Descarga del capacitor** #. Fije los valores de :math:`R` y :math:`C` de modo que :math:`R=1\,\Omega` y :math:`C=1\,\text{F}`. Espere a que el capacitor se cargue al 100\%. Descárguelo y a partir de las dos curvas de voltaje en función del tiempo verifique que el tiempo que transcurre para que los voltajes en el capacitor y resistor se reduzcan al 37\% de valores iniciales es :math:`\tau=RC`. #. Repita el procedimiento anterior para otros valores de :math:`R` y :math:`C` que usted fije de manera arbitraria. ¿Qué se puede concluir? #. ¿Por qué razón, los signos de los voltajes en el capacitor y resistor son siempre opuestos? #. De las expresiones para carga y descarga del capacitor, demuestre que la rapidez con la cual el capacitor se carga es la misma rapidez con la cual se descarga. Verifique la anterior proposición con el simulador. **Carga-Descarga del capacitor** #. Fije los valores de :math:`R` y :math:`C` de modo que :math:`R=1\,\Omega` y :math:`C=1\,\text{F}`. Aplique una señal de voltaje periódica cuadrada tal como muestra la :numref:`fig:RC_exerc_01b`, para ello utilice los botones **Battery in the circuit**, **Step:** :math:`>>` **Battery removed** alternadamente; demuestre que las curvas de voltaje en el capacitor y resistor son como las mostradas en la :numref:`fig:RC_exerc_01`. .. figure:: /images/Electromagnetismo/RC_Circuit/exercise_01b.png :scale: 65 :align: center :name: fig:RC_exerc_01b Señal periódica aplicada al capacitor inicialmente descargado .. figure:: /images/Electromagnetismo/RC_Circuit/exercise_01.png :scale: 65 :align: center :name: fig:RC_exerc_01 Carga-descarga del capacitor #. En un circuito RC, las señales de voltaje en el capacitor y resistor son como las mostradas en la :numref:`fig:RC_exerc_02`, si el capacitor se encontraba inicialmente descargado, dibuje la señal aproximada que fue aplicada al sistema RC en el diagrama de la :numref:`fig:RC_exerc_01a`. .. figure:: /images/Electromagnetismo/RC_Circuit/exercise_02.png :scale: 65 :align: center :name: fig:RC_exerc_02 Voltajes en :math:`R` y :math:`C` en función del tiempo. .. figure:: /images/Electromagnetismo/RC_Circuit/exercise_01a.png :scale: 65 :align: center :name: fig:RC_exerc_01a Señal aplicada al circuito RC cuyas curvas de voltaje en :math:`C` y :math:`R` se muestran en la :numref:`fig:RC_exerc_02`. #. Realice una gráfica de energía almacenada en el capacitor en función del tiempo para la situación descrita en el inciso 2. #. Realice una gráfica de energía disipada en el resistor en función del tiempo para la situación descrita en el inciso 2.